Ya que podemos elegir lo que nos quiere, yo quería saber lo que los cambios en el transporte paralelo de un vector si elegimos dos conexiones diferentes para hacerlo(por separado). Una explicación geométrica será apreciada para que yo pueda visualizar cada paralelo de transporte.
Además, ¿cómo podemos calcular o "ver" las diferencias en cada paralelo de transporte?
Por último, ¿por qué debe uno elegir la de Levi-Civita de conexión aparte de que simplifica los cálculos(o parece que debido a la simetría de intercambio en los dos índices(covariante) de los símbolos de Christoffel que corresponden a la de Levi-Civita de conexión--pero, incluso si resulta no ser el más simple de conexión para realizar los cálculos, la pregunta sigue en pie)?
Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta corta a tu primera pregunta es que si se cambia la conexión de prácticamente cualquier cosa puede suceder en paralelo de transporte. Más concretamente, supongamos $M$ es un buen colector, $\gamma\colon I\to M$ es un buen incrustado curva, $t_0\in I$, e $v$ es un vector en $T_{\gamma(t_0)}M$. Si $V\colon I\to TM$ es cualquier liso campo vectorial a lo largo de $\gamma$ que satisface $V(t_0) = v$, entonces podemos encontrar una conexión en $M$ que hace $V$ en el transporte paralelo de $v$.
Para ver esto, observe primero que podemos encontrar suave campos vectoriales $V_2,\dots,V_n$ a lo largo de $\gamma$, de modo que $(V(t),V_1(t),\dots,V_n(t))$ constituye una base para $T_{\gamma(t)}M$ por cada $t$. Entonces a partir de la $\gamma$ es una incrustación, podemos extender estos campos vectoriales para suavizar los campos vectoriales en un barrio de la imagen de $\gamma$, y en algunos (posiblemente más pequeños) barrio que va a ser un marco para $M$. En ese barrio, se puede definir una conexión por declarar estos campos vectoriales en paralelo (o, de manera equivalente, al declarar que los símbolos de Christoffel con respecto a este marco todo a ceros). Esa conexión puede ser extendida a todos los de $M$ usando una partición de la unidad.
La mejor respuesta que conoce a su segunda y tercera preguntas se basa en la siguiente idea: Si $M$ es un submanifold de $\mathbb R^n$ con sus inducida por la métrica, y $V$ es un campo de vectores tangentes a $M$ a lo largo de una curva de $\gamma$$M$, entonces una forma natural e intuitiva para definir lo que significa para $V$ a ser paralelas a lo largo de $\gamma$ es exigir que, de ordinario, direccional derivada en cada punto de la curva ortogonal para el espacio de la tangente de $M$ en ese punto. Intuitivamente, esto significa $V$ es "tan cerca de la constante, como puede ser" mientras se alojan tangente a $M$.
El punto de Levi-Civita de conexión es que puede ser definido en un resumen de Riemann colector de tal manera que se conserva por isometrías, y si por casualidad usted encuentra un isométrico de la incrustación de su colector en el espacio Euclidiano (que siempre existe por el Nash incrustación teorema), entonces el paralelismo con respecto a la de Levi-Civita de conexión corresponde a la idea intuitiva descrito anteriormente.
