Producto de la fibra es una subvariedad incrustado

Question

<blockquote> <p>Que $\pi:E\to B$ una inmersión suave y $\phi:F\to B$ un mapa liso. Definir el producto fibra de $E$ y $F$ con respetan al $B$ como el conjunto:</p> <p>$$E\times_B F:=\{(e,f)\in E\times F\mid \pi(e)=\phi(f)\}$$</p> <p>Demostrar que $E\times_B F$ es una subvariedad incrustado de $E\times F$.</p> </blockquote> <p>Estoy tratando de encontrar cartas $\psi:U\cap (E\times_B F)\to\mathbb{R}^k$ donde $U\subset E\times F$ está abierto, pero estoy atrapado ya que ni siquiera sé dónde buscar la correcta $k$, que me hace pensar que probablemente hay una solución más simple.</p> <p>¿Alguna sugerencia?</p>

Answer 1

Una inmersión es localmente una proyección, es decir, alrededor de cualquier $e\in E$ allí es un barrio diffeo algunos $E'\times B'$, que $\pi$ es sólo un mapa de proyección a $B'\subseteq B$ en estas coordenadas. Esto reduce al caso donde $\pi$ es una proyección, que es fácil.