La condición en la que su problema es suficiente pero no necesaria. Tomando $q$ a ser el mapa de identidad da bastante trivial contra-ejemplos. De una forma menos trivial contra-ejemplo, tomar $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $Y = S^1 \times \mathbb{R}$, $Z = S^1 \times S^1$, $q = u \times 1_{\mathbb{R}}$ y $r = 1_{S^1} \times u$ donde $u : \mathbb{R} \rightarrow S^1$ es el universal que cubre el mapa. A continuación, $r \circ q : X \rightarrow Z$ es una cubierta mapa y $r^{-1}(\{z\})$ es infinita para cada $z \in Z$.
En general, para obtener ejemplos donde $r \circ q$ es una cubierta mapa y $r^{-1}(\{z\})$ no es finito, la correspondencia entre los mapas que cubren más de $Z$ ("bien comportado" espacios de $Z$) y los subgrupos del grupo fundamental de la $\pi_1(Z)$ significa que usted obtiene ejemplos en los que la conclusión del teorema sostiene, pero la hipótesis no en los casos donde $\pi_1(Z)$ tiene un no-trivial subgrupos de infinito índice (de ahí mi elección de $Z = S^1 \times S^1$ encima, de modo que $\pi_1(Z) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$). Esta correspondencia también implica que la única que cubre los mapas de $\mathbb{R}_+$ $\mathbb{R}$son homeomorphisms, por lo que no ayuda aquí.
En el de arriba "bien comportado" se refiere a algunas condiciones en $Z$ que hacen que todo funcione bien. Conectado y localmente contráctiles haría o un poco más en general, conectados localmente trayectoria-conectado y semilocally simplemente conectado (que es lo que Hatcher usa). Semilocally simplemente-conectividad se explica en Hatcher. En, una nota por Ethan Jerzak, usted va a encontrar una prueba de que si $q : X \rightarrow Y$ $r : \rightarrow Z$ están cubriendo los mapas y si $Z$ es localmente trayectoria-conectado y semilocally simplemente conectado, entonces el compuesto $r \circ q$ es una cubierta mapa. Así que para obtener un ejemplo en el que el compuesto de dos cubriendo de mapas no es una cubierta mapa, usted tiene que trabajar con espacios que no cumplen estas condiciones. La cuña de la reducción de los círculos es tan simple un ejemplo de como se puede obtener de un espacio que está conectado localmente pero no semilocally simplemente conectado. Jerzak la nota da bastante detallada de la manera de utilizar ese espacio para conseguir la deseada ejemplo de cobertura de los mapas de $q$ $r$ tal que $r \circ q$ no es una cubierta mapa.
Hay una alternativa para la disminución de los círculos dado en Spanier de la Topología Algebraica, Cap. 2, Ejemplo 2.8 que usted puede encontrar más simple. Para esto, vamos a $Z = S^1 \times S^1 \times S^1\times \ldots$ ser un countably infinito producto de círculos y dejar $X_n = \mathbb{R}^n \times S^1 \times S^1 \times \ldots $, $n \in \mathbb{N}$. Entonces no es una cubierta de mapa de $q_n :X_n \rightarrow Z$ que actúa como el universal que cubre $u: \mathbb{R} \rightarrow S^1$ en el primer $n$ factores del producto y de la identidad $1 : S^1 \rightarrow S^1$ en el resto de los factores. Ahora vamos a $Y$ ser el espacio del producto $\mathbb{N} \times Z$ donde $\mathbb{N}$ es dada la topología discreta.
A continuación, la cubierta de mapas de $x \mapsto (n, q_n(x)) : X_n \rightarrow \{n\} \times Z$ ajuste para que juntos dan una cubierta mapa de $q : X \rightarrow Y$ y la proyección de $(n, y) \mapsto y$ da una cobertura de mapa de $r : Y \rightarrow Z$. Sin embargo, ningún subconjunto abierto de $Z$ puede ser uniformemente cubierto por $r \circ q$, lo $r \circ q$ no es una cubierta mapa.
