Integral utilizando funciones armónicas

Question

Evaluar la integral:

$$\int^{2 \pi}_0 \dfrac{\cos^2 \theta}{|2e^{i\theta}-z|^2} \, d \theta \qquad \mbox {when} \, |z| \neq 2.$$

Ahora, pensé en tratar de cambiar esto para parecerse a un núcleo de Poisson:

$$ \dfrac{\zeta +z}{\zeta-z} = \Re \left(\frac{|\zeta|^2-|z|^2}{|\zeta-z|^2}\right).$$

Así, puedo usar la propiedad de valor medio. Pero no estoy teniendo ninguna suerte. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Con el fin de obtener una respuesta, voy a evaluar la integral usando el teorema de los residuos. Escribir $\zeta=e^{i \theta}$ como de costumbre, para obtener, por la integral,

$$-i \frac14 \oint_{|\zeta|=1} \frac{d\zeta}{\zeta} \frac{(\zeta+\zeta^{-1})^2}{|2 \zeta-z|^2} = -i\frac14 \oint_{|\zeta|=1} \frac{d\zeta}{\zeta^2} \frac{(\zeta^2+1)^2}{(2 \zeta-z)(2 -\bar{z} \zeta)}$$

Claramente tenemos polos en $\zeta=0$, $\zeta=z/2$, y $\zeta=2/\bar{z}$, con el polo en $\zeta=0$ siendo una de doble polo, los demás simple. El residuo de la pole en $\zeta=0$ es

$$\frac{i}{4} \frac{|z|^2+4}{4 z^2}$$

Ahora, tenga en cuenta que tenemos dos casos, correspondiente a si $|z|$ es mayor o menor que $2$. En el primer caso, utilizamos la pole en $\zeta=2/\bar{z}$ que está dentro de $|\zeta|=1$. El residuo no es

$$-\frac{i}{4} \frac1{4 \bar{z}^2} \frac{(4+\bar{z}^2)^2}{|z|^2-4}$$

Por el teorema de los residuos, la integral de $|z|\gt 2$ $i 2 \pi$ veces la suma de estos residuos. Después de algunos álgebra, tengo que

$$\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{\cos^2{\theta}}{\left | 2 e^{i \theta}-z\right|^2} = \frac{\pi}{|z|^2} \frac{|z|^2+4 \cos{\left (2 \operatorname*{Arg}{z}\right )}}{|z|^2-4} \quad (|z| \gt 2)$$

Al $|z| \lt 2$. por otro lado, utilizamos la pole en $\zeta=z/2$ lugar. El uso de manipulación similar, tengo que

$$\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{\cos^2{\theta}}{\left | 2 e^{i \theta}-z\right|^2} = \frac{\pi}{4} \frac{4+|z|^2 \cos{\left (2 \operatorname*{Arg}{z}\right )}}{4-|z|^2} \quad (|z| \lt 2)$$

ANEXO

Cabe señalar que la integral de hecho, puede ser definida cuando se $z=\pm 2 i$, ya que hay una singularidad removible en el integrando en $\theta=\pi/2$ o $3 \pi/2$, respectivamente.

ANEXO II

Yo probablemente debería ilustrar el álgebra detrás de la respuesta, ya que no es trivial. Voy a ilustrar el caso de $|z|\gt 2$. Por el teorema de los residuos, el resultado es

$$\require{cancel} \begin{align}\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{\cos^2{\theta}}{\left | 2 e^{i \theta}-z\right|^2} &= \frac{\pi}{2} \left [\frac1{4 \bar{z}^2} \frac{(4+\bar{z}^2)^2}{|z|^2-4} - \frac{|z|^2+4}{4 z^2} \right ]\\ &= \frac{\pi}{8} \frac{z^2 (4+\bar{z}^2)^2 - \bar{z}^2 (|z|^4-16)}{z^2 \bar{z}^2 (|z|^2-4)}\\ &= \frac{\pi}{8} \frac{16 z^2+ 8 |z|^4 + \color{red}{\cancelto{0}{\color{\gray}{\bar{z}^2 |z|^4}}} - \color{red}{\cancelto{0}{\color{\gray}{\bar{z}^2 |z|^4}}} + 16 \bar{z}^2}{|z|^4 (|z|^2-4)}\\ &= \pi \frac{|z|^4 +2 (z^2+\bar{z}^2) }{|z|^4 (|z|^2-4)}\\ &= \frac{\pi}{|z|^2} \frac{|z|^2 + 4 \frac{(\Re{z})^2-(\Im{z})^2}{(\Re{z})^2+(\Im{z})^2}}{|z|^2-4}\end{align}$$

El declaró resultado de la siguiente manera. El lector debe hacer en el caso de $|z|\lt 2$ él/ella misma.