Distribución del máximo de la suma de gaussianos

Question

Dejemos que $X_i$ sea una secuencia de variables aleatorias normales i.i.d. Sea $Y_i=\sum_{k=1}^iX_k$ y $Z_i=\sum_{k=1}^iY_k$ . Estoy interesado en los límites superior e inferior de $P(\sup_{1\leq i\leq m}|X_i|\leq c)$ , $P(\sup_{1\leq i\leq m}|Y_i|\leq c)$ y $P(\sup_{1\leq i\leq m}|Z_i|\leq c)$ . Conseguí descifrar las dos primeras, y para la segunda obtuve resultados de algo así como $1-\mbox{const}\times e^{-c^2/n}$ considerando $P(|B_t|\geq c)$ y utilizando el principio de reflexión para $\tau=\inf_{t\leq m}\{t: \ |B_t|\geq c)\}$ .

El problema es que el mismo truco no funciona del todo cuando se trata de calcular el $P(\sup_{1\leq i\leq m}|Z_i|\leq c)$ . De hecho, lo mejor que pude hacer fue escribir $Z_{n+1}=Z_n+B_{n+1}$ donde $B$ es un movimiento browniano estándar. ¿Tal vez esto puede convertirse en una ecuación diferencial estocástica? Pero, parece intratable a menos que me esté perdiendo algo. Me preguntaba cómo se podría obtener buenos límites superiores e inferiores para el supremum sobre $Z_i$ ? Quizás estoy pensando demasiado y hay una forma más fácil que no recurre al movimiento browniano.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tal vez le resulte útil. Este documento de Charles. E. Clark http://www.eecs.berkeley.edu/~alanmi/investigación/timing/papers/clark1961.pdf da una forma de aproximar el máximo de un conjunto finito de variables normales correlacionadas $Y_1,\ldots,Y_n$ por una variable normal en sí misma.

En concreto, si $Y_1\sim N(\mu_1,\sigma_1)$ , $Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2)$ son variables normales con correlación $\rho$ denotan $$ a^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 -2\sigma_1\sigma_2\rho\ ,\\ \alpha = (\mu_1-\mu_2)/a\ . $$ El primer y segundo orden del máximo $W = \max(Y_1,Y_2)$ vienen dadas por $$ \nu_1 = \mu_1\Phi(\alpha) + \mu_2\Phi(-\alpha) + a\varphi(\alpha)\ , \\ \nu_2 = (\mu_1^2+\sigma_1^2)\Phi(\alpha) + (\mu_1^2+\sigma_1^2)\Phi(-\alpha) + (\mu_1+\mu_2)a\varphi(\alpha)\ , $$ donde $\Phi$ es la fdc normal estándar y $\varphi$ la densidad normal estándar. A partir de ahí es posible definir una variable normal $\widetilde{W}\sim N(\nu_1,(\nu_2-\nu_1)^2)$ que se aproxima al máximo de $Y_1$ y $Y_2$ . Se puede obtener entonces una aproximación de $\max(Y_1,Y_2,Y_3)$ utilizando la correlación $$ \rho(W,Y_3) = \sigma_1\rho_1\Phi(\alpha) + \sigma_2\rho_2\Phi(-\alpha)/(\nu_2 - \nu_1)^{1/2} $$ donde $\rho_1=\rho(Y_1,Y_3)$ y $\rho_2=\rho(Y_2,Y_3)$ . Esto se puede hacer de forma recurrente, pero la recurrencia general es un poco más complicada ya que se necesitan las correlaciones $\rho(W_j,Y_i)$ para $i\geq j+2$ a cada paso siendo $$ W_j \approx \max(Y_1,\ldots,Y_{j+1})\ . $$ La aproximación es suficientemente buena para muchos propósitos numéricos y puede ser buena también para obtener los límites que usted requiere.

Pero creo que tal vez tengas razón y la respuesta sea más sencilla que todo eso.

Answer 2

Esto puede ser exagerado, pero: El teorema de Fernique dice que para cualquier medida gaussiana $\mu$ en un espacio de Banach separable $(X, \|\cdot\|)$ hay constantes $C,\epsilon$ tal que $\mu(\{ x : \|x\| > t\}) \le Ce^{-\epsilon t^2}$ . (Puede encontrar una demostración en el Teorema 4.10 de estos apuntes míos de la conferencia .) $(Z_1, \dots, Z_m)$ es un vector aleatorio gaussiano (siendo una transformación lineal de $(X_1, \dots, X_m)$ ), por lo que su ley $\mu$ es una medida gaussiana sobre $\mathbb{R}^m$ . Si dejamos que $X$ sea $\mathbb{R}^m$ equipado con su $\ell^\infty$ norma, entonces el teorema de Fernique dice que $$P(\max_{1 \le i \le m} |Z_i| > t) \le C e^{-\epsilon t^2}.$$

Si quieres un control más explícito sobre las constantes, puede que tengas que hacer más trabajo.