Teorema: Vamos a $X$ ser un espacio de Banach, $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ $C_0$- semigroup en $X$$U_0\in X$. Si $A:D(A)\subset X\to X$ es el generador infinitesimal de $\{T(t)\}_{t\geq0}$, entonces la función de $U:[0,\infty)\to X$ $U(t)=T(t)U_0$ es una solución de $(1)$. $$\left\{\begin{align*} U_t(t)=AU(t);&~~~~t\in[0,\infty)\\ U(0)=U_0& \end{align*}\right.\la etiqueta{1}$$
Ahora, considere el problema
$$\left\{\begin{align*} y_t(x,t)=y_{xx}(x,t);&~~~~&&x\in\mathbb{R};\;t\in[0,\infty)\\ ~y(x,0)=f(x);&&&x\in\mathbb{R} \end{align*}\right.\la etiqueta{2}$$
donde $y_{xx}$ es la debilidad de las derivadas de segundo orden de $y$. Por el teorema anterior, es posible demostrar que el $(2)$ tiene una solución.
Así, podría alguien explicar mí (con algunos detalles) ¿cómo podemos reescribir $(2)$ con el fin de obtener un sistema equivalente, de forma análoga a $(1)$?
La solución que he visto dice que es suficiente para demostrar que el operador $A:H^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$ definido por $A(y)=y_{xx}$ es un generador infinitesimal de una $C_0$-semigroup en $L^2(\mathbb{R})$ (para esto, el Hille-Yosida teorema se utiliza sin embargo mi pregunta no es acerca de la aplicación de la Hille-Yosida Teorema. Necesito ayuda para entender cómo transformar el sistema original en un sistema como el de $(1)$ y el por qué de la existencia de una solución para $(1)$ implica que el exitece de una solución para el sistema original).
Gracias.
