Impacto de la fila de un mapa liso en los grupos de homología

Question

Dadas $f:N\to M$ un mapa liso entre colectores lisos compactos, supongamos que el mapa inducido $f*:H{l}(N,\mathbb{R})\to H_{l}(M,\mathbb{R})$ es distinto de cero por ciento $l\in \mathbb{N}$, entonces quiero mostrar que el rango de $df$ $\ge l$ en algún momento de $N$.

Intuitivamente creo que es correcto, pero no soy capaz de hacer la declaración precisa. ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Sugerencia: Considerar la inducida por el mapa de de Rham cohomology.

Una prueba plena se oculta debajo.

Supongamos $df$ tiene rango menor que $l$ en cada punto. Entonces para cualquier $l$forma $\omega$ en $M$, $f^*\omega=0$ (la inducida por el mapa en $1$-se forma en un punto es justo el doble de $df$, por lo que tiene rango de $<l$, y por lo tanto su $l$th potencia exterior es $0$). De ello se desprende que la inducida por el mapa de $f^*:H^l_{dR}(M,\mathbb{R})\to H^l_{dR}(N,\mathbb{R})$ de de Rham cohomology es $0$. Por el teorema de de Rham, esta $f^*$ es dual a $f_*:H_l(N,\mathbb{R})\to H_l(M,\mathbb{R})$, lo $f_*$ debe $0$.