¿Cómo anotar formalmente el número de ocurrencias?

Question

Quiero escribir la siguiente frase formalmente:

La secuencia $S$ contiene elementos del conjunto $A$ . El valor de la probabilidad $P(a)$ para un elemento $a$ se define como el número de sus apariciones en la secuencia $S$ dividido por el recuento de todos sus elementos.

Puedo escribirlo de la siguiente manera:

$$ S = (s_1, s_2, ..., s_n) : s_i \in A.$$ $$ P(a) := {{ \left| \lbrace i \in \lbrace 1, 2, ..., n \rbrace : s_{i} = a \rbrace \right| } \over {n}}, \text{ given } n > 0\text{ and }a \in A. $$

Sin embargo, es bastante largo y poco elegante. ¿Existe una forma más sencilla de escribirlo?

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Editar:

Siempre hay una solución, que consiste en dividir la fórmula en partes más pequeñas:

$$ \text{Let } C(x) = \left| \lbrace i \in \lbrace 1, 2, ..., n \rbrace : s_i = x \rbrace \right|.$$ $$ P(a) := {C(a) \over n}. $$

Es más legible, pero sigue sin ser lo que busco...

Answer 1

1. Si está dispuesto a utilizar el " Notación de corchetes Iverson ", popularizado por Knuth y otros, se puede decir $$C(x) = \sum_{i=1}^n [s_i = x]$$

   Aquí $[\ldots]$ son los soportes de Iverson. $[P]$ se define como 1 si $P$ es verdadero, y 0 si es falso.

2. La gente a veces utiliza el Delta de Kronecker por esto: $\delta_{ij}$ se define como 1 si $i=j$ y 0 si $i\ne j$ por lo que tendrías:

   $$C(x) = \sum_{i=1}^n \delta_{xs_i}$$ o $$C(x) = \sum_{i=1}^n \delta(x, s_i)$$

   pero creo que el soporte de Iverson es más sencillo.

3. Lo más sencillo sería escribir

   Dejemos que $C(x)$ sea el número de elementos de $s_1,\ldots,s_n$ que son iguales a $x$ . Entonces

   La idea de que esto es de alguna manera menos "formal" que algo que implica un montón de símbolos divertidos es un error común.

Answer 2

Tampoco es del todo correcto. ¿Qué tal si $|\{i\in\{1,\ldots,n\}\colon s_i=a\}|$ en el numerador? Si ves la secuencia $S$ como una función $S\colon\{1,\ldots,n\}\to A$ , $i\mapsto s_i$ Entonces, incluso se podría escribir $|S^{-1}(a)|$ para el numerador. Y el denominador debería ser simplemente $n$ (que ha definido implícitamente para $S$ ). Como $S$ no es (principalmente) un conjunto, $|S|$ parece extraño.