La definición del logaritmo.

Question

Por lo general se presenta varias definiciones del logaritmo a lo largo de sus estudios.

1. Usted puede ser introducido por primera vez a la exponencial y, a continuación, dijo que el logaritmo es su inversa.
2. A usted le pueden dar $$\log x = \int\limits_1^x {\frac{{du}}{u}} $$
3. Como Landau. Deje $k = 2^n$, entonces: $$\log x =\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } k\left( {\root k \of x - 1} \right)$$
4. Y por último, si alguna vez has leído, Euler famoso escribió: $$ - \log x = \frac{{1 - {x^0}}}{0}$$

Landau definición (aunque me parece que es el más útil para trabajar con) que realmente me desconcertó hasta ahora. Desde $$\int\limits_1^x {\frac{{du}}{{{u^{\alpha + 1}}}}} = \frac{{{x^{ - \alpha }} - 1}}{{ - \alpha }}$$

A continuación, se $\frac{1}{k} = -\alpha$ uno espera tener:

$$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \int\limits_1^x {\frac{{du}}{{{u^{\alpha + 1}}}}} = \int\limits_1^x {\frac{{du}}{u}} = \log x = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } k\left( {\root k \of x - 1} \right)$$

¿Cómo se puede justificar teniendo el límite antes de la integración? La continuidad es suficiente?

Answer 1

Puede usar el hecho de que es un límite uniforme para$u \in [1,x]$, o usar Convergencia dominada o Convergencia monótona.