Tenemos 6 nietos. 2 de cada uno de nuestros 3 hijos. Nuestra nieta hizo la siguiente pregunta: "¿De cuántas maneras podrían dibujar nombres para Navidad si no pudieran dibujar a su hermano?". Tengo la respuesta, 80, pero me gustaría saber el algoritmo matemático para obtener esta respuesta.
Respuestas
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justartem
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13
Ordena los pares de hermanos así $\underbrace{**}_\text{siblings}|\underbrace{**}_\text{siblings}|\underbrace{**}_\text{siblings}$
Entonces lo que quieres es el número de permutaciones tales que ninguna de ellas esté en el mismo espacio entre barras que antes.
Hay tres casos.
Caso 1: Los hermanos 1 y 2 entran en las posiciones 3 y 4 (2 órdenes). Entonces los hermanos 3 y 4 caen en las posiciones 5 y 6 (2 órdenes).los hermanos 5 y 6 caen en las posiciones 1 y 2(2 vías) 8 en total.
Caso 2: uno de los hermanos 1 y 2 cae en una de las posiciones 3 y 4 y el otro cae en las posiciones 5 y 6. (4 maneras de elegir las posiciones exactas donde caen y 2 para elegir donde cae cada uno da 8 opciones). esto deja a los hermanos 3 y 4 con tres posiciones aceptables, sin embargo necesitan tomar el lugar vacante en las posiciones 5,6 o el hermano 5,6 no tendrá suficiente espacio. (por lo que tienen 2 opciones para elegir el lugar en los espacios 1,2 y 2 opciones para elegir que el hermano se pone lo que da 4 opciones para los hermanos 3,4.) Por último, los hermanos 5 y 6 tienen dos opciones para elegir cuál de las dos plazas restantes les corresponde.
Caso 3: Los hermanos 1 y 2 eligen los puestos 5 y 6 (2 pedidos). Así que los hermanos 3 y 4 eligen 1 y 2 (2 pedidos) y los hermanos 5 y 5 eligen los puestos 3,4 (2 pedidos) 8 en total.
Por lo tanto, hay 8+64+8=80 opciones.
CodingBytes
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102
El conjunto $G:=\{a,b,c\}\times\{1,2\}$ de los nietos es la unión de tres parejas de $\hat x:=\{(x,1), (x,2)\}$$x\in \{a,b,c\}$. Se nos dice que para contar el número de bijections $f:\>G\to G$ que satisfacen la condición $$f_1(x,\iota)\ne x\qquad \forall\ (x,\iota)\in G\ ,$$ which expresses that no gift should go to oneself or to ones sibling. Call these $f$ admisible.
Deje $f$ ser admisible. La pareja $\hat x$ es la mezcla de al $f_1(x,1)\ne f_1(x,2)$. Cuando una pareja se mezcla todo tiene que ser: Suponga que el $\hat a$ es la mezcla y la $\hat b$ no lo es. Entonces, necesariamente,$f(\hat b)=\hat a$. Sería imposible definir $f\restriction\hat c$ en la admisibilidad de una manera.
Por lo tanto, existen dos tipos de admisible $f$'s, llamado la mezcla y el factoring. Los tipos de $f$ $g:=f^{-1}$ son los mismos.
Una mezcla de $f$ puede ser especificado de la siguiente manera: Para cada par de $\hat x$ admisible de los valores de $f_1(x,1)$ $g_1(x,1)$ son elegidos de forma independiente. Esto determina entonces admisible de los valores de $f_1(x,2)$$g_1(x,2)$, y es fácil ver que $f$ es exclusivamente especificados por estos datos. Hay $6$ independiente binario opciones que participan, así no se $64$ mezcla admisible $f$'s.
Una de factoring $f$ actos en el camino de $\hat a\to\hat b\to\hat c\to\hat a$ o viceversa. En cada flecha de una opción binaria es posible, dando un total de $16$ posibilidades.
De ello se desprende que hay $80$ admisible bijections. La probabilidad de que un sorteo al azar de los resultados en una admisibles $f$ ${1\over 9}$ solamente.
