Ruta más rápida al teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre un EPI

Question

Este es el teorema al que se refiere el título. En su Álgebra básica I Jacobson lo demuestra mediante un lema:

Lema Dejemos que $D$ sea un PID y $K$ sea un submódulo de $D^{(n)}$ (el módulo libre de rango $n$ ). Entonces

1. $K$ está generada finitamente;

2. $K$ está libre de rango $\le n$ .

Pregunta ¿Cuál es la relevancia de la conclusión 2. para la prueba posterior? Supongo que no es necesaria.

De hecho, la prueba de Jacobson es la siguiente. Tomemos un módulo finitamente generado $M$ sobre el PID $D$ y un homomorfismo generador $ \eta\colon D^{(n)} \to M$ . Entonces el núcleo $K$ de $\eta$ está generada finitamente y tenemos una matriz de relaciones $A$ cuyas filas son un conjunto de generadores para $K$ . A continuación, aplicamos la maquinaria de la forma normal de Smith para $A$ .

Me parece que no hicimos uso de 2. Este punto garantiza que podemos tomar $A$ de rango completo, pero eso es algo que no necesitamos. ¿Me equivoco?

Gracias.

Answer 1

Antes de la demostración del lema, Jacobson dice que

.. Un primer resultado que necesitaremos es que $K$ está generada finitamente. Esto se deduce del siguiente resultado más fuerte.

y posteriormente

.. El método que vamos a aplicar funcionará igual de bien si tenemos un conjunto finito de generadores, y como cuestión práctica a veces es útil no tener que recurrir a una base.

Y de hecho, en la presentación de Jacobson 2.) no es necesario para demostrar el teorema de la estructura, no tenemos que molestarnos en encontrar una base para $K$ . Por supuesto, no deja de ser un buen dato y probarlo no requiere tanto trabajo.