Demostrar eso si , entonces

Question

Definir <span class="math-container">$$\psi(x)=\begin{cases} 1-p & x 0 \end{cases}$ $</span>. Tengo que demostrar eso si <span class="math-container">$$E\psi(x-\theta)= 0 $$ then <span class="math-container">$% $ $P(X.</span></span>

Cualquier sugerencias serán apreciadas. Lo que he hecho hasta ahora es estado

<span class="math-container">$$E\psi(x-\theta)= \int{-\infty}^\theta{(1-p)f(x)dx} - p \int\theta^{\infty} {f(x)dx} = 0$$</span>

Entonces lo que me sale es

<span class="math-container">$$\int{-\infty}^\theta{(1-p)f(x)dx} = p \int\theta^{\infty} {f(x)dx}$$</span>

Pero esto no ayuda mucho

Answer 1

Su método se supone que $X$ es una variable aleatoria continua, la cual no se declaró como una condición del problema. Es posible obtener el resultado en un caso más general, siempre que hay alguna probabilidad no nula de que $X \neq \theta$. Desde el formulario establecido para $\psi$ usted tiene:

$$\psi(X-\theta) = \mathbb{I}(X < \theta) - p \cdot \mathbb{I}(X \neq \theta).$$

Por lo tanto, tomando el valor esperado se obtiene la función:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu(\theta) \equiv \mathbb{E}(\psi(X-\theta)) &= \mathbb{P}(X < \theta) - p \cdot \mathbb{P}(X \neq \theta). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Ahora, para el caso de que $\mathbb{P}(X \neq \theta)=0$ ha $\mu(\theta)=0$ cualquier $p \in \mathbb{R}$, por lo que la implicación quieres demostrar que no está presente en este caso. Para el caso de que $\mathbb{P}(X \neq \theta)>0$ el valor esperado de la condición $\mu(\theta)=0$ implica que:

$$p = \frac{\mathbb{P}(X < \theta)}{1-\mathbb{P}(X = \theta)}.$$

Con un poco de álgebra se puede obtener la necesaria reducción de las desigualdades. La primera es la establecida por:

$$\begin{equation} \begin{aligned} p = \frac{\mathbb{P}(X < \theta)}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \geqslant\mathbb{P}(X < \theta). \end{aligned} \end{equation}$$

El segundo se establece como:

$$\begin{equation} \begin{aligned} p &= \frac{\mathbb{P}(X < \theta)}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \\[6pt] &\leqslant \frac{\mathbb{P}(X < \theta) + \mathbb{P}(X = \theta) \cdot \mathbb{P}(X > \theta)}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{P}(X < \theta) + \mathbb{P}(X = \theta) \cdot (1-\mathbb{P}(X < \theta)-\mathbb{P}(X = \theta))}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{P}(X < \theta) + \mathbb{P}(X = \theta) - \mathbb{P}(X = \theta)\mathbb{P}(X < \theta)-\mathbb{P}(X = \theta)^2}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \\[6pt] &= \frac{(\mathbb{P}(X < \theta) + \mathbb{P}(X = \theta)) \cdot (1 - \mathbb{P}(X = \theta))}{1-\mathbb{P}(X = \theta)} \\[6pt] &= \mathbb{P}(X < \theta) + \mathbb{P}(X = \theta) \\[8pt] &= \mathbb{P}(X \leqslant \theta). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Answer 2

Hay muchas formas de abordar este problema.

El punto de la siguiente, tome usted a través de un proceso de análisis de la cuestión, la realización de los cálculos necesarios como simple y fácil como sea posible, el desarrollo de una estrategia para llevar a cabo la prueba, y la aplicación de esa estrategia. Una sección de las observaciones finales, destaca lo que se ha logrado por medio de este método.

Análisis

Recordemos que una variable aleatoria $X$ se asigna un número a cada elemento de a$\omega$ de un espacio muestral $\Omega.$

La expresión $Y=\psi(X-\theta)$ es otra manera de asignar números a los elementos de $\Omega;$ es decir, para cada una de las $\omega,$ calcular $\psi(X(\omega)-\theta).$

Observe que el número resultante es uno de más de tres valores: $-p, 0,$ e $1-p.$ Como se puede ver, vamos a ser capaces de calcular las probabilidades de que cualquier subconjunto de estos valores. Esto hace que $Y$ una variable aleatoria, y también: y es discreto . Esto simplifica los cálculos que necesitemos hacer.

En este punto es evidente que necesitamos para lograr dos cosas: (1) tenemos que calcular una expectativa y (2) que vamos a necesitar para manipular las desigualdades de manera algebraica. Vamos a tomar en turno.

Los cálculos preliminares

La expectativa de $Y$ puede ser encontrado a partir de la misma definición: se multiplican sus valores por sus probabilidades. Vamos a incluir entre ellos:

1. Para $X \lt \theta,$ $Y=\psi(X-\theta) = 1-p.$ Esto ha probabilidad de $\Pr(X\lt \theta).$

2. Para $X=\theta,$ $Y=\psi(0) = 0.$ Esto ha probabilidad de $\Pr(X=\theta).$

3. Para $X \gt \theta,$ $Y = -p.$ Esto ha probabilidad de $\Pr(X \gt \theta).$

La expectativa de $Y$ es la suma de los valores de los tiempos de sus probabilidades:

$$\mathbb{E}(\psi(X-\theta)) = \mathbb{E}[Y] = (1-p)\Pr(X\lt\theta) + 0\Pr(X=\theta) + (-p)\Pr(X \gt \theta).\tag{1}$$

Estrategia para la prueba de

La forma más sencilla de llevar a cabo la necesaria demostración es mostrar su contrapositivo: que es,

si $\Pr(X \lt \theta)\gt p$ o $\Pr(X \le \theta) \lt p,$ tenemos a la conclusión de que la $\mathbb{E}(\psi(X-\theta))$ es no cero.

En el primer caso donde $\Pr(X\lt \theta)\gt p,$ la aditividad de los eventos mutuamente excluyentes y el axioma de la unidad de medida--dos de los axiomas de la probabilidad--garantizar que

$$\eqalign{ \Pr(X \gt \theta) y= 1 - (\Pr(X\lt\theta) + \Pr(X=\theta)) \\ &\le 1 - \Pr(X\lt \theta)\\ & \lt 1-p. }$$

La sustitución de estas dos desigualdades en $(1)$ da

$$\eqalign{ \mathbb{E}(\psi(X-\theta)) y= (1-p)\Pr(X\lt\theta) -p\Pr(X \gt \theta) \\ &\gt (1-p)p - p(1-p) = 0, }$$

demostrando la expectativa no puede ser cero. La demostración en el segundo caso parallels este, QED.

Comentarios

Debido a que esta es una prueba totalmente primaria--se basa sólo en la definición de las expectativas y los axiomas de la probabilidad-revela lo poco que debe ser asumido y cómo en general el resultado es:

1. No es necesario asumir $0\lt p\lt 1:$ la afirmación de que se demostró es cierto para todos los $p.$

2. Esta demostración funciona incluso cuando $p=0$ o $1-p=0$ (mientras que otros intentos podría fallar por estos valores, en caso de que aparezcan en los denominadores de las fracciones).

3. No era necesario asumir la $X$ tiene una densidad de $f.$

4. No mayor de conceptos de la matemática, tales como la integración, eran necesarios.

5. De hecho, ni siquiera tiene el uso de una función de distribución para $X$: trabajamos directamente con las correspondientes probabilidades.