¿Cuándo las variables aleatorias normales correlacionadas son normales multivariadas?

Question

Sé que hay muchos ejemplos de variables aleatorias normales correlacionadas que no son conjuntamente (multivariadas) normales. Sin embargo, ¿existen condiciones que establezcan cuándo las variables aleatorias normales correlacionadas son conjuntamente normales?

Digamos que observo n variables aleatorias univariantes $X_1, \dots, X_n$ que son cada uno $N(\mu, \sigma^2)$ con correlación común $\rho$ . ¿Es posible que sean conjuntamente normales? Si es así, ¿cuáles son las condiciones y cómo puedo saber si son conjuntamente normales?

Answer 1

Digamos que observo n variables aleatorias univariantes $X_1, \dots, X_n$ que son cada uno $N(\mu, \sigma^2)$ con correlación común $\rho$ . ¿Es posible que sean conjuntamente normales? Si es así, ¿cuáles son las condiciones y cómo puedo saber si son conjuntamente normales?

Hay no condiciones basadas en sólo en los pdfs marginales que puede garantizar la normalidad conjunta. Sea $\phi(\cdot)$ denotan la densidad normal estándar. Entonces, si $X$ y $Y$ tienen pdf conjunto $$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y), & x \geq 0, y \geq 0,\\ 2\phi(x)\phi(y), & x < 0, y < 0,\\ 0, &\text{otherwise},\end{cases}$$ entonces $X$ y $Y$ son variables aleatorias normales estándar (positivamente) correlacionadas (calcula las densidades marginales para verificar esto si no es inmediatamente obvio) que no tienen una densidad normal conjunta bivariada. Por lo tanto, dado sólo que $X$ y $Y$ son variables aleatorias estándar correlacionadas, ¿cómo podemos saber si $X$ y $Y$ ¿tienen el pdf conjunto mostrado arriba o la densidad normal conjunta bivariada con el mismo coeficiente de correlación?

En el sentido contrario, si $X$ y $Y$ son independiente variables aleatorias (nótese la absoluta falta de mención a la normalidad de $X$ y $Y$ ) y $X+Y$ es normal, entonces $X$ y $Y$ son variables aleatorias normales (Feller, capítulo XV.8, teorema 1).

Answer 2

Ciertamente es posible.

Desde un punto de vista teórico, hay muchas formas diferentes de "caracterizar" la distribución normal multivariante, véase por ejemplo Hamedani, G. G. (1992). Bivariate and multivariate normal characterizations: a brief survey. Communications in Statistics-Theory and Methods, 21(9), 2665-2688.

Desde una perspectiva práctica, véase por ejemplo Henze, N. (2002). Invariant tests for multivariate normality: a critical review. Statistical papers, 43(4), 467-506.

Answer 3

Esta es una pregunta interesante. La analizaré desde otro punto de vista: ¿Cuándo se debe esperar que una distribución conjunta con marginales normales, no sea multinormal?

Algunos fenómenos que se producen en los datos no puede ser descrita por una distribución multinormal Es interesante que haya algunos ejemplos (incluso una lista) de este tipo de fenómenos. Dos ejemplos, para empezar: Si el vector aleatorio $(Y,X^T)^T$ es multinormal (tome aquí $Y$ como escalar), entonces la expectativa condicional de $Y$ dado $X$ toma la forma de una función lineal en el $X$ : $$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E [Y \mid X=x]= \beta_0 + \beta^T x $$ para algunos parámetros $\beta_0, \beta$ (que puede calcularse a partir de la expectativa y la matriz de covarianza de $(Y,X^T)^T$ ). Por lo tanto, si los datos indican que la regresión $Y$ en $X$ es no lineal, o necesita términos de interacción, entonces la distribución conjunta no puede ser multinormal. Para un ejemplo, véase Expectativa condicional de dos variables aleatorias marginales idénticas .

Otro ejemplo es ¿Puedo analizar o modelar una correlación condicional? que consiste en estudiar la correlación entre dos variables condicionada a una tercera, cómo cambia la correlación con los valores de la tercera. Si las tres variables son multinormales, se puede demostrar fácilmente que la correlación condicional es una constante, por lo que este fenómeno no puede producirse.

Pero debe haber muchos otros ejemplos interesantes de este tipo...