Vectores propios y ''filas propias''

Question

Normalmente buscamos los vectores propios de una matriz $M$ como los vectores que abarcan
un subespacio que es invariante por la multiplicación a la izquierda por la matriz: $M\vec x= \lambda \vec x$ .

Si tomamos el problema de la transposición $\mathbf x M=\lambda \mathbf x$ , donde $\mathbf x$ es un vector fila, vemos que los valores propios
son iguales, pero las ''filas propias'' no son la transposición del vector propio (en general).

Por ejemplo, para la matriz $$\left[ \matrix{0&1\\2&1} \right]$$
encontramos, para el valor propio $\lambda=2$ , $$\begin{bmatrix} 0&1\\2&1 \end{bmatrix} \left[ \matrix{1\\2} \right]= 2\left[ \matrix{1\\2} \right]$$ $$\left[ \matrix{1&1} \right] \begin{bmatrix} 0&1\\2&1 \end{bmatrix} = 2\left[ \matrix{1&1} \right] \;\;.$$

Así que mis preguntas son: ¿Existe alguna relación entre estos eigenspaces ''derecho'' y ''izquierdo'' del
¿la misma matriz? ¿Hay alguna razón por la que las ''filas propias'' no están tan estudiadas como los vectores propios?

Answer 1

Suelen llamarse "vectores propios de la izquierda". No hay ninguna razón para despreciarlos, salvo que a muchas personas (no todas) les gusta considerar los operadores que actúan a la izquierda de algo en lugar de a la derecha.

Cualquier matriz es similar a su transposición. Por lo tanto, los espacios propios izquierdo y derecho para el mismo valor propio tienen la misma dimensión.

Answer 2

En general, no hay una conexión sencilla entre los dos conjuntos de vectores, aparte del hecho de que pertenecen a los mismos valores propios.

Por supuesto, si $A$ es simétrica, entonces las "filas propias" son simplemente transposiciones de los vectores propios.

En cuanto a su segunda pregunta:

El problema de encontrar filas propias para una matriz es idéntico al problema de encontrar vectores propios para la transposición de la matriz. Esto significa que no hay ninguna razón real para tener una teoría separada desarrollada por el bien de algo que es equivalente a una teoría bien establecida.

Answer 3

Existe una relación entre los espacios eigénicos izquierdo y derecho, como se indica a continuación:

Si $\lambda$ y $\mu$ son números reales distintos, entonces la izquierda $\lambda$ El espacio eigénico es ortogonal a la derecha $\mu$ eigenspace.

Prueba: Supongamos que $\vec{v}$ es un vector de filas en la izquierda $\lambda$ eigenspace y $\vec{w}$ es un vector columna en la derecha $\mu$ eigenspace. Entonces $$\vec{v} A \vec{w} = \vec{v} (\mu \vec{w}) = \mu (\vec{v} \cdot \vec{w})$$ y también $$\vec{v} A \vec{w} = (\lambda \vec{v}) \vec{w} = \lambda (\vec{v} \cdot \vec{w}).$$

Así que $$\mu (\vec{v} \cdot \vec{w})=\lambda (\vec{v} \cdot \vec{w})$$ y $\vec{v} \cdot \vec{w}=0$ .

En particular, si $A$ es simétrica, lo que demuestra que los espacios propios para valores propios distintos son ortogonales.

Answer 4

Como ha señalado Robert, sus "filas propias" se denominan más convencionalmente "vectores propios izquierdos", y no son más que los vectores propios de la transposición de la matriz.

Una aplicación especialmente importante en la que intervienen los vectores propios izquierdo y derecho es el concepto de valor propio número de condición . Para cada valor propio $\lambda$ de $\mathbf A$ hay un número de condición asociado, definido como el recíproco del producto punto de (geométricamente, la secante del ángulo entre) los vectores propios izquierdo y derecho (convenientemente escalados). Esto es especialmente valioso cuando $\mathbf A$ no es una matriz normal, ya que este número de condición mide hasta qué punto $\mathbf A$ es de ser una matriz con $\lambda$ como un valor propio múltiple, y posiblemente de ser una matriz defectuosa. Véase esta referencia entre otros.