Cómo saber si el orden es importante o no

Question

Me he encontrado con un problema de combinatoria:

Mi solución fue $(4\cdot3\cdot2)+(5\cdot3\cdot4)+(6\cdot5\cdot4)$ .

Sin embargo, la solución de los libros de texto fue

Entendería la solución si el orden no importara, pero no creo, por las pistas del problema, que el orden no lo hace asunto.

¿Puede alguien explicarme esto? ¿Qué problema muestra que el orden no importa? Gracias.

Answer 1

Decidir si el orden importa o no en este caso es más un problema de inglés que de matemáticas. Se trata de saber si las frases "seleccionar cartas al azar" y "el número de selecciones" se refieren a cosas en las que el orden importa o no.

En este caso resulta que el orden no importaba, pero no veo forma de estar seguro de ello a partir del propio enunciado del problema. No hay nada que mencione si a Grace le importa qué carta es la primera, la segunda y la tercera, o si sólo le importa que tarjetas con las que termina.

Dicho esto, si se calculara la probabilidad de terminar con una mano así, no importa la interpretación que elijas. Obtendrá la misma respuesta de cualquier manera. No se puede decir lo mismo si se permiten las repeticiones. Si se permiten las repeticiones, y el orden importa, entonces una mano de $1111$ es tan común como una mano de $1234$ mientras que si la orden no lo hace materia, entonces una mano de $1234$ es 24 veces más probable que una mano de $1111$ .

Answer 2

Normalmente en una selección con algunas restricciones el orden no importa. Pero el contexto es decisivo.

Esto se aplica especialmente a una mano de cartas, ya que en prácticamente cualquier juego de cartas sólo importa el contenido de tu mano, no el orden en que sacaste esas cartas.

Dicho esto, es un poco ambiguo y probablemente el problema debería indicarlo explícitamente.

Answer 3

El problema sólo te dice que el número mayor de cuatro cartas es el 5, el 6 o el 7. No te dice en qué posición está.

Barajar la misma selección de cuatro cartas no afecta al valor mayor entre ellas. Así que el orden no cuenta.

Answer 4

A) Cuando el orden importa, el número total de formas de seleccionar cuatro cartas es $9*8*7*6$ : las 4 tuplas se distinguen por su contenido y/o por su orden.

b) Si el orden no importa entonces será $\binom{9}{4}$ : las 4 tuplas se distinguen sólo por el contenido.
Nuestro universo está dado por todos los conjuntos $\{1 \le x < y < z < w \le 9 \}$ .

En el caso a) el número de formas de seleccionar, por ejemplo $(x,y,z,5) \; |\, max(x,y,z)=4$ es $4*3*2$ que es lo que has calculado.
Pero el $5$ puede estar en cualquier posición, así que en realidad es $4*(4*3*2)$ .
La probabilidad de seleccionar cuatro cartas con un máximo de $5$ entonces es $4*(4*3*2)/(9*8*7*6)$ .

En el caso b) el número de formas de seleccionar $(x,y,z,5)\; |\, x<y<z \le 4$ es $(4*3*2)/3! = \binom{4}{3}$ .
La probabilidad es $$ \binom{4}{3} \;\mathop /\limits_{} \; \binom{9}{4} = {{4 \cdot 3 \cdot 2} \over {3!}}{{4!} \over {9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}} = 4{{4 \cdot 3 \cdot 2} \over {9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}} $$ que es el mismo que en el caso a).

Así que la conclusión es que siempre es importante especificar el "universo" de los eventos (condiciones) que se consideran.
En su caso, eso no estaba claramente especificado.