¿$\{n: n = 3k + 1\}$ Es un dominio de factorización única? (Nos estamos Factorizando en números de la forma $3k + 1$)

Question

Llamada de un número de formulario <span class="math-container">$3k + 1$</span> una privilegiada si y solamente pueden tenerse en menor números de forma <span class="math-container">$3k + 1$</span>. El conjunto de todos los números de esta forma obviamente está cerrado, y cada número de esta forma tiene por lo menos una factorización. ¿Es único? Demostrar o dar contraejemplo.

Answer 1

Puedo decir que lo que quería preguntar es si cada número de la forma $3k + 1$, $k \geq 0$ e $k \in \mathbb{Z}$ puede ser el único factor en el número de esa forma. La respuesta es no.

Los primeros números se $$1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, \ldots$$

Mirando estos pocos números, uno puede ser llevado por mal camino y creo que no es el único de la factorización de entre ellos. Mwahahaha!

Pero aquí es una manera de encontrar un montón de contraejemplos: piensa un número primo $p$ de la forma $3k - 1$. A continuación, $p^2 \equiv 1 \pmod 3$, y así es $2p$. A continuación, $4p^2 = (2p)^2$, fácilmente conduce a los ejemplos $100 = 4 \times 25 = 10^2$, $484 = 4 \times 121 = 22^2$, $1156 = 4 \times 289 = 34^2$, etc.

No muy diferente de la $4k + 1$.