En este pregunta, pregunté sobre algún ejemplo no cíclico y realizable a mano de grupo de clase ideal, y Yong Hao Ng el ejemplo con discriminante mínimo es $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ con $\alpha^{3} + 11\alpha + 21 = 0$ . Con la ayuda de SAGE y algunos cálculos tediosos, demostré que el grupo de clases está generado por dos clases ideales $[(3, \alpha-1)]$ y $[(3, \alpha)]$ y ambos tienen orden 2. Para demostrar que $(3, \alpha - 1)$ no es un ideal principal, demostré que $\epsilon = \alpha^{2}- \alpha - 4$ es una unidad fundamental de $K$ utilizando la desigualdad de Artin. Entonces, si $(3, \alpha - 1)=(\beta)$ para algunos $\beta\in \mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}[\alpha]$ , $(\alpha+2) = (3, \alpha - 1)^{2} = (\beta^{2})$ implica que $v(\alpha + 2) = \beta^{2}$ para alguna unidad $v\in U_{K} =\mathcal{O}_{K}^{\times}$ . Podemos suponer $v = 1$ o $v = \epsilon$ y, por ejemplo, si $\alpha + 2 = \beta^{2} = (a\alpha^{2} + b\alpha +c)^{2}$ Entonces, ampliando esto, deberíamos tener $c^{2} + 42ab = 2$ , lo cual es imposible viendo la ecuación mod 3. Del mismo modo, podemos demostrar que no hay $\beta\in \mathbb{Z}[\alpha]$ s.t. $\beta^{2} = \epsilon(\alpha + 2)= \alpha^{2}- 17\alpha - 29$ (por mod 7). También puedo demostrar que $(3, \alpha)$ no es un ideal principal ya que $(3, \alpha)(13, \alpha + 3) = (\alpha + 3)$ y $(13, \alpha + 3)$ no es un ideal principal por el método similar.
Para demostrar que el grupo de clase es isomorfo al grupo 4 de Klein, lo único que tenemos que hacer ahora es $[(3, \alpha -1)] \neq [(3, \alpha)]$ , lo que equivale a que $\mathfrak{p}_{3}\mathfrak{p}_{3}' = (3, \alpha -1)(3, \alpha)$ no es un ideal principal. Sin embargo, no puedo demostrar esto por el método anterior, ya que no puedo encontrar ninguna contradicción.
Tenemos $(\mathfrak{p}_{3}\mathfrak{p}_{3}')^{2} = (-\alpha-1)$ por lo que sólo tenemos que demostrar que $(-\alpha - 1)v =\beta^{2}$ no es posible para ningún $v\in U_{K}$ y $\beta\in \mathcal{O}_{K}$ . Como antes, $-\alpha - 1 = \beta^{2}$ no tiene solución observando el coeficiente de $\beta^{2}$ . (-1 no es un cuadrado mod 3). Sin embargo, no puedo demostrar que $(\alpha^{2} - \alpha - 4)(-\alpha - 1) = 16\alpha + 25$ no es un cuadrado en $\mathcal{O}_{K}$ . Esto equivale a demostrar que el siguiente sistema de ecuación diofantina
$$ b^{2} + 2ac - 11a^{2} = 0 \\ 2bc + 22ab - 21a^{2} = 16\\ c^{2} + 42ab = 25 $$ no tiene ninguna solución entera $(a, b, c)$ . Claramente, la última ecuación no da ninguna contradicción modulo cualquier primo $p$ .
Así que trato de encontrar otras relaciones no triviales entre clases ideales utilizando SAGE, pero no he podido encontrar ninguna que me ayude a demostrar que el ideal anterior no es principal. Además, intenté $v = \epsilon^{2k+1}$ , en lugar de $\epsilon$ y nada da una contradicción.
Además, basta con demostrar que uno de los siguientes ideales (primos) $$ \mathfrak{p}_{3}'' = (3, \alpha + 1) \\ \mathfrak{p}_{17} = (17, \alpha - 2) \\ \mathfrak{p}_{23} = (23, \alpha - 8) \\ \mathfrak{p}_{29} = (29, \alpha + 4) \\ \mathfrak{p}_{29} = (29, \alpha - 10) $$ no son principales. Pero he fallado en todos los ideales anteriores. ¿Tienes alguna idea? Gracias de antemano.
Editar : No puedo prescindir de SAGE. Si $\sqrt{16\alpha+25} = \beta\in K$ entonces $\beta$ $$ \left(\frac{\beta^{2}-25}{16}\right)^{3} + 11\left(\frac{\beta^{2} - 25}{16}\right) + 21 = \frac{\beta^{6} - 75\beta^{4} + 4691\beta^{2} - 9}{4096} = 0. $$ Sin embargo, según SAGE, el polinomio $x^{6} - 75x^{4} + 4691x^{2} - 9$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por lo que el grado de $\beta$ es 6, lo que contradice a $\beta\in \mathbb{Q}(\alpha)$ . Sin embargo, creo que no puedo demostrar que el polinomio de grado 6 es irreducible (e incluso es difícil calcularlo a mano.)
