si dos matrices tienen el mismo espacio de soluciones, ¿tienen el mismo espacio nulo?

Question

Sea $A, B M_{m×n}(F)$ y supongamos $b F^m$ . Si la solución establece $\{x : Ax = b\}$ y $\{x : Bx = b\}$ son no vacías e iguales, ¿se deduce que $N(A) = N(B)$ ?

A menos que $b=0$ No creo que sea cierto. ¿Cómo puedo probar esto para algún b fijo distinto de cero?

Answer 1

Digamos que $x_n\in N(A)$ . Si $x_o$ es una solución, entonces $x = x_0+ x_n$ también es una solución para $Ax=b$ donde $x_o$ . En $x_0+x_n$ también debería ser una solución para $Bx=b$ . Así que $Bx = Bx_0 + Bx_n$ . Pero $Bx_0=b$ lo que implica $Bx_n = 0$ también. Se puede extender este argumento a la inversa.

Answer 2

Pista: El conjunto de soluciones de $Ax=b$ es $x_0+N(A)$ donde $x_0$ es una solución.