Contando los grados de libertad en el mecanismo de Higgs para diferentes calibres

Question

Me estoy preguntando cómo contar los grados de libertad (dof) para una enorme medidor de campo en diferentes calibres. He estado leyendo algunas otras respuestas, pero no he encontrado una solución todavía.

Estoy mirando el modelo de un complejo campo escalar $\phi$ con espontáneamente ruptura de la simetría ($\to$ mecanismo de Higgs) y un $U(1)$ invarianza de norma, lo que significa que con un medidor de campo $A$ (escalar QED). (ver, por ejemplo, en Peskin & Schroeder del QFT libro de ch.20/21)

Para un general $R_\xi$ medidor, el medidor de campo propagador es $$ \Delta^{\mu\nu}_F(p) = \frac{\eta^{\mu\nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{m_A^2}}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon}+ \frac{\frac{p^\mu p^\nu}{m_A^2}}{p^2-\xi m_A^2+\text{i}\epsilon} $$ Este término debería, en teoría, tener 4 dof, tres físicos(=real) de la primera parte (esto incluye el spin suma de todos los estados físicos${}^1$ = 3 dof) y uno no físico(=ficticio) de la segunda parte (proporcional a un escalar propagador $\to$ 1 dof).

Entonces, ¿cómo esta bodega en ciertos medidores?

1. $\xi=0$, lo que conduce a la Lorenz/Landau calibre. El calibre y Goldstone propagador parece $$ \Delta^{\mu\nu}_F(p) = \frac{\eta^{\mu\nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon},\qquad S_{gold}(p)=\frac{1}{p^2+\text{i}\epsilon}\etiqueta{21.27} $$ El bosón de Goldstone es un no físico campo, debido a que su masa depende del calibre del parámetro. Por lo tanto contribuye 1 no físico dof. El medidor propagador contiene la proyección transversal de operador en su numerador, por lo que este debe representar 2 dof?

2. $\xi=1$, lo que conduce a la Feynman/'t Hooft calibre. De nuevo, los propagadores son $$ \Delta^{\mu\nu}_F(p) = \frac{\eta^{\mu\nu}}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon},\qquad S_{gold}(p)=\frac{1}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon}\etiqueta{21.28} $$ A Continuación Eq.(21.1), P&S de escritura que esta forma de la galga propagador tiene 4 componentes (2 transv., 1 long., 1 timelike) y la Goldstone propagador también dispone de 1 gdl.

3. $\xi\to\infty$, lo que conduce a la central unitaria de calibre. En un único indicador, sólo física grados de libertad quedan. $$ \Delta^{\mu\nu}_F(p) = \frac{\eta^{\mu\nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{m_A^2}}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon},\qquad S_{gold}(p)=0\etiqueta{21.29} $$ Aquí tenemos de nuevo la suma de todos los estados físicos en el numerador ($\to$ 3 física dof) y la Goldstone propagador desacopla de la teoría.

¿Cómo puedo hacer que el sentido de este dof-contar? Es razonable contar dof, ya que el no físico términos cancelar todos modos y yo sólo debe centrarse en los estados físicos?

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${}^1$Ver Eq.(21.26) en P&S del libro: $$ \sum\limits_{\epsilon^\mu q_\mu=0}\epsilon^\mu (\epsilon^\nu)^* = -\left( \eta^{\mu\nu}-\frac{q^\mu q^\nu}{m_A^2} \right)\quad \leftarrow \text{físicas estados de polarización} $$

Answer 1

Para cualquier (finito) el valor de $\xi$, el propagador $$ \Delta^{\mu\nu}_F(p) = \frac{\eta^{\mu\nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{m_A^2}}{p^2-m_A^2+\text{i}\epsilon}+ \frac{\frac{p^\mu p^\nu}{m_A^2}}{p^2-\xi m_A^2+\text{i}\epsilon} $$ contiene tres físico y uno no físico d.o.f.s. El propagador de Goldstone $$ \Delta_\varphi(p)=\frac{1}{p^2-\xi m_A^2+i\epsilon} $$ contiene uno no físico d.o.f. que cancela el no físico d.o.f. en el medidor de propagador.

Este conteo es esencialmente válido para cualquier $\xi$ (incluyendo $\xi=0$). La única excepción es el límite de $\xi\to\infty$, donde los bosones de Goldstone se vuelven infinitamente enorme y congelar. En este medidor, el medidor propagador contiene sólo tres d.o.f.s, y todos ellos son físicos.

Ver también esta PSE post.