Extensión de la función uniformemente continua

Question

Quiero probar esto:

$f \in C((a,b))$ uniformemente continua. Entonces existe $ \tilde {f} \in C([a,b])$ extensión de $f$ .

Tomé $x_n \rightarrow a$ y definido $ \tilde {f}(a)= \mathrm {lim}\;f(x_n)$ . Vi que es una buena definición, lo único que no puedo probar es que $ \tilde {f}$ es continua en $a$ (o $b$ ). ¿Podría ayudarme por favor?

Answer 1

Tiene que justificar que $\lim f(x_n)$ existe. Existe, ya que las funciones uniformemente continuas mapean sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy (puede que tengas que demostrarlo, pero se deduce directamente de las definiciones). Ahora demuestre que para cualquier sucesión $y_n$ convergiendo hacia $a$ que $ f(y_n)$ converge a $ \tilde f(a)$ . Esto demostrará que $\tilde f$ es continua en $a$ . Por supuesto, hay que tratar con $b$ también...

Answer 2

Tiene que demostrar que el límite existe. Para ello, compruebe que $f(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Utilice la continuidad uniforme para hacer esto.