¿Cómo se relaciona el número de Chern el teorema de Gauss-Bonnet?

Question

Yo soy un físico así que lo siento si mi pregunta no es lo suficientemente riguroso.

Utilizamos el concepto de un invariante topológico nombre de Chern número, y es un entero. He visto a la gente en relación a la característica de Euler. Dicen que tiene que ver con la generalización de Gauss-Bonnet teorema, es decir, el de Gauss-Bonnet-de Chern teorema aunque no me pueda ver exactamente cómo.

Cómo puede uno ir de Gauss-Bonnet-de Chern teorema, si la aplicamos a un 2D colector, para el clásico de Gauss-Bonnet teorema?

Answer 1

Dado un % (compact) $2k$-dimensional Riemannian múltiple $M$ (sin límite) y asociado Riemann curvatura $2$-forma $\Omega = (\Omega_{ij})$, la forma de Euler viene dada por 0 $$e(\Omega) = \frac{(-1)^k}{(2\pi)^k} \text{Pf}(\Omega)$ $ y el teorema de Chern-Gauss-Bonnet afirma que $\displaystyle\int_M e(\Omega) = \chi(M)$.

Generalmente define el % de Pfaffian $\text{Pf}(\Omega)$#% $ de #% esto surge naturalmente de la teoría invariante porque un % de matriz sesgar-simétrica $$\text{Pf}(\Omega) = \frac 1{2^kk!}\sum \epsilon_{i_1i2\dots i{2k}} \Omega_{i_1i2}\wedge\dots\wedge\Omega{i{2k-1}i{2k}}.$ $2k\times 2k$tenemos $X$. Ahora tenga en cuenta que cuando $\text{Pf}(X)^2 = \det X$, este fórmula reduce a $k=1$ $ recibirá $$\text{Pf}(\Omega) = \frac12 \sum\epsilon{ij}\Omega{ij} = \Omega_{12} = -K\,dA.$ $