He hecho correctamente?
Determine cuál de los siguientes anillos son campos:
un) $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]$/$\large_{(x^2+1)}$
b)$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]$/$\large_{(x^2+1)}$
Mi solución:
a) sabemos que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es un campo. A continuación, $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]$ es un PID. Sabemos que $(x^2+1)$ es máxima si el polinomio $x^2+1$ es irreductible. Tenemos que buscar las raíces de la forma $[a]\in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, de tal manera que $[{p(a)]}=[a^2+1]=[0]$. Los elementos de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$[0]$$[1]$: $$ [p(0)]=[0+1]=[1]\neq[0], $$$$ [p(1)]=[1+1]=[2]=[0] $$
por lo $x^2+1$ es reducible.
b) sabemos que el $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ es un campo. A continuación, $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]$ es un PID. Sabemos que $(x^2+1)$ es máxima si el polinomio $x^2+1$ es irreductible. Tenemos que buscar las raíces de la forma $[a]\in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, de tal manera que $[{p(a)]}=[a^2+1]=[0]$. Los elementos de $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ $[0]$, $[1]$ y $[2]$:$$ [p(0)]=[0+1]=[1]\neq[0], $$$$ [p(1)]=[1+1]=[2]\neq[0] $$ $$ [p(2)]=[4+1]=[5]=[2]\neq[0] $$
por lo $x^2+1$ es irreductible $\implies (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]$/$\large_{(x^2+1)}$ es un campo.
