Necesito ayuda con esta pregunta de probabilidad condicional

Question

Esta pregunta fue proporcionada en la sesión de tutoría:

Sus amigos de Alice y Bob son talentosos que tomaron los exámenes, pero a veces puede distraerse con sus filosofías. Alice es un optimista, y ella siempre quiere creer que un enunciado es verdadero. Cuando se administra una declaración verdadero/falso lo que es verdadero, Alice recibe la respuesta correcta con probabilidad de 80%, pero por declaraciones falsas, ella obtiene la respuesta correcta sólo el 35% del tiempo. Por otro lado, Bob es un escéptico, y tiende a dudar de la verdad de las declaraciones. Si un enunciado es verdadero, se obtendrá la respuesta correcta con una probabilidad de 15%, pero si una declaración es falsa, se obtendrá la respuesta correcta 85% del tiempo.

(a) el profesor recibe un bono si todos sus estudiantes a alcanzar al menos el 50%, por lo que ella quiere para el diseño de una prueba de verdadero/falso en el que tanto Alice y Bob se espera recibir al menos esta puntuación. ¿Qué porcentaje de los extractos en la prueba se establece en true para lograr esto?

(b) que Su maestro está ahora siendo sobornados para hacer de Alice puntaje tan alto como sea posible. Sin embargo, ella no quiere que Bob a fallar la clase. ¿Qué porcentaje de declaraciones debe ser verdadera, a fin de maximizar Alice puntaje esperado, manteniendo Bob puntaje esperado nada menos que el 43%?

(c) Usted está tomando una prueba de verdadero/falso con Alice y Bob. Usted no puede leer la idioma en el que el test está escrito, pero se puede ver tanto la de Alice y Bob respuestas para cada pregunta; Alicia respuestas son independientes de Bob. Usted también saber que cada instrucción en el test es verdadero con una probabilidad de 50%. ¿Cómo se debe llenar la hoja de respuestas para lograr la máxima puntuación esperada? ¿Cuál será tu puntaje esperado?

(d) Ahora imagine que usted necesita para crear una clave de respuestas para la prueba. Usted puede mirar en las hojas de respuesta para como muchos de los optimistas (la gente que la respuesta verdadera a las preguntas correctamente, con una probabilidad de 75% y falso a las preguntas correctamente, con una probabilidad de 40%) y pesimistas (la gente que la respuesta verdadera a las preguntas correctamente, con una probabilidad de 40% y falso a las preguntas correctamente, con 90% de probabilidad) como te gusta. Los estudiantes los errores son independientes el uno del otro. Usted sabe que cada instrucción en el test es verdadero con una probabilidad de 30%. ¿Cómo crear una clave de respuesta que es al menos el 77% de respuestas correctas en la espera?

Mi enfoque::

Vamos a C ser el caso de que la respuesta es correcta y S el caso de que la afirmación es verdadera.

Luego de Alicia: P(C|S) = 0.8 y P(C|S') = 0.35

y para Bob: P(C|S) = 0.15 y P(C|S') = 0.85

(a)

Tenemos que hacer que el P(C) >= 0,5 para los dos porque ambos necesitan para alcanzar al menos el 50%.

Supongamos que P(S) = x, P(S') = 1-x luego de Alicia:

P(C) = P(C|S)P(S) + P(C|S)P(S') = 0.8 x + (1-x)*0.35 >=0.5

Resolviendo obtenemos x >= 0.33

Del mismo modo para Bob obtenemos x <= 0.43

Así que de acuerdo a la pregunta, % de preguntas que se establece en true, debe ser entre 33-43%

(b)

Desde que Bob el puntaje debe ser de al menos el 43%, tenemos para Bob :

P(C) >= 0.43

P(C) = P(C|S)P(S) + P(C|S)P(S') = 0.15 x + (1-x)*0.85 >=0.43

x<=0.7

Así que el 70% de las declaraciones debe ser cierto. No estoy seguro acerca de esto.

(c)

No tengo idea acerca de esto.

(d)

Para los Optimistas: P(C|S) = 0,75 y P(C|S') = 0.4

y para los pesimistas: P(C|S) = 0.4 y P(C|S') = 0.9

P(S) = 0.3(dado)

Los optimistas se espera respuesta P(C) = 0.3*0.75+0.7*0.4=0.505 yo.e el 50,5% de los tiempos correctamente

y los pesimistas se espera respuesta P(C) = 0.3*0.4+0.7*0.9=0.75 yo.e 75% veces correctamente.

¿Cómo puedo conseguir ahora al menos el 77% respuesta correcta clave porque la copia pesimistas " única respuesta que da el 75%?

Es mi método correcto? Cómo acercarse a este tipo de preguntas?

Answer 1

Su puesta en marcha es buena, aunque tal vez diferenciar entre el $C_A$ (o $A$) 'Alice recibe es correcto' y $C_B$(o $B$) 'Bob consigue corregir". También, para mayor comodidad, me gustaría utilizar una carta que es más indicativo de $S$ (que ha elegido porque ... 'Declaración es cierto?) Cómo acerca de $T$ 'Declaración es Verdadera'.

a) Usted tiene el derecho de la ecuación, y para Alice consigue $x \ge \frac{1}{3}$. Pero para Bob, si se piensa en ello: si la mitad de las declaraciones son verdaderas y la mitad son falsas, entonces Bob se puede esperar para obtener la mitad de las preguntas correctas. Y si más cierto declaraciones se ponen en el examen, entonces Bob va a hacer peor. Así, por Bob para obtener al menos la mitad correcta, usted necesita por lo menos la mitad de las declaraciones falsas, lo que es lo mismo que tener a más de la mitad de las declaraciones de ser cierto. Así que, asumiendo que tuvo el porcentaje de Alicia correcto, usted necesita tener entre $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ declaraciones verdaderas.

Para b), se debe señalar que el más verdadero declaraciones son en la prueba, la mejor Alice no, y el peor de Bob. Así que, para maximizar el Alice de la puntuación, de hecho, es una cuestión de minimizar Bob puntuación a $43$%. Así, acaba de establecer la ecuación de a $0.43$. Es decir, en lugar de decir que queremos:

$$0.15x + (1-x) \cdot 0.85 \ge 0.43$$

se puede decir que queremos:

$$0.15x + (1-x) \cdot 0.85 = 0.43$$

C) tenga en cuenta que la probabilidad de Bob obtener la respuesta correcta a cualquier pregunta es $0.5*0.15+0.5*0.85=0.5$ (i.e Bob se puede esperar para obtener la mitad de la derecha), mientras que la probabilidad de Alice obtener la respuesta correcta a cualquier pregunta es $0.5*0.80+0.5*0.35=0.575$. Dicho de otra manera, no aprenden nada de Bob respuestas, pero usted puede aprender algo de Alice respuestas. De hecho, usted puede utilizar Bayes' Derecho a ver que cuando Bob respuestas 'True', es correcto $50$% del tiempo, y lo mismo cuando él contesta "False", así que de nuevo, no hay ninguna información obtenida a partir de Bob respuestas. Pero cuando Alice respuestas 'True', es más probable correctas que incorrectas, y lo mismo con su respuesta sea "Falsa". Así, la mejor estrategia es simplemente copiar la de Alice respuestas, con la que usted puede esperar para obtener la $57.5$% a la derecha. (Esta pregunta podría haber sido taaaan mucho más interesante si Bob respuestas fueron reveladoras, y si sabía el número de la verdadera pregunta no era exactamente la mitad!)

ANEXO

Aha! Así, d) es exactamente que " mucho más interesante pregunta la que me refería al final de la c). Sí, parece paradójico para obtener $77$% de precisión cuando la mejor prueba de notas (los pesimistas) sólo puede score $75$% de precisión, pero hay al menos 3 cosas que hace distinta a la de c)

Primero de todo, el número de declaraciones Verdaderas no es el mismo que el número de declaraciones Falsas. Así, de esta forma se crea una asimetría en el primer lugar. Por supuesto, crea una asimetría en favor de los pesimistas, y a medida que sus cálculos muestran, que de hecho van a hacer mucho mejor en la prueba de los optimistas, por lo que realmente podemos hacer mejor que los optimistas? Bien:

Segundo, tenga en cuenta que los optimistas puntuación (sólo) por encima del 50% ... así que usted puede aprender algo de los optimistas. De hecho, mientras que es más probable que responder "Verdadero" cuando todo el mundo responde "Verdadero", y lo mismo 'False', es concebible que la mejor cosa a hacer cuando los optimistas dicen que 'True' y los pesimistas dicen que es "Falsa", es ir con los pesimistas y decir 'False', mientras que cuando los optimistas dicen "Falso" y los pesimistas dicen que 'True', la mejor cosa que podría ser la de ir con los pesimistas. En otras palabras, no hay ninguna necesidad de ir con las respuestas de un grupo, y sobre todo cuando hay un desacuerdo de un tipo, a confiar en el grupo uno mejor que el otro, pero con un desacuerdo de un tipo diferente, esto se invierte.

Ahora, dada la baja de los optimistas están haciendo en la prueba, resulta que (yo hice los cálculos) que cuando todos los optimistas dicen una cosa, y todos los pesimistas dicen otra, es aún así, siempre es mejor ir con el pesimista de la respuesta, así que vas a terminar con el pesimistas " calificación de $75$%, pero hay una diferencia crucial:

Tercero, ahora tiene varios de los optimistas y los pesimistas. Ahora en realidad esto plantea una cuestión práctica su estrategia va: ¿qué hacer cuando no todos los optimistas de acuerdo? O no todos los pesimistas? Así, una estrategia es averiguar la mayoría respuesta de los optimistas, así como la mayoría respuesta de los pesimistas. Pero dado que los pesimistas son mucho mejores en esta prueba, probablemente todavía ir con los pesimistas " mayoría respuesta.

OK, pero ¿diría usted que cuando un gran porcentaje de los optimistas dicen que es "Falsa", pero sólo una pequeña mayoría de los pesimistas dicen 'True' a alguna pregunta? Así, los optimistas son inclinados a decir que 'True' para la mayoría de las preguntas, de modo que si una gran mayoría (si no todos) de ellos dicen 'False', que realmente debería darle algo de pausa: tal vez todos tienen algo en la pregunta que les hace romper su "hábito". Por supuesto, también tenemos una mayoría de los pesimistas diciendo: 'True', que debe darle pausa así ... pero si que es sólo una ligera mayoría, entonces, lo que podría indicar que son mucho menos seguros de sí mismos. Y así, en un caso como ese, puede ser mejor ir con la optimistas " mayoría respuesta, en lugar de con el pesimismo de la mayoría de la respuesta.

Larga historia corta: usted puede aprender algo de tanto los optimistas y los pesimistas, y especialmente puede aprender algo de la proporción en que se responde a la pregunta.

Ahora, ¿cómo se traduce esto en una estrategia real? Una estrategia que tome en cuenta todo esto es simplemente ir con la opinión de la mayoría para cada respuesta, no teniendo en cuenta si la respuesta fue dada por un optimista o un pesimista. (de hecho, no está claro a partir de la pregunta de si se puede incluso saber que los optimistas son y que los pesimistas).

Pero si usted sabe que los optimistas y los pesimistas, la estrategia implicaría examinar la proporción de los grupos de responder de una determinada manera, y luego hacer una especie de Bayesiana pregunta: "dado que el $X$% de los optimistas respondido de esa manera, y $Y$% de los pesimistas de esa manera, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta correcta es tal y tal?"

Francamente, no estoy exactamente seguro de cómo hacer que, en general ... pero tal vez usted podría considerar la posibilidad de mirar a sólo 2 optimistas y 2 pesimistas ... así que usted podría utilizar el Bayesiano teorema para calcular cosas como "teniendo en cuenta que tanto los optimistas dijo: 'True', y dado que 1 pesimista dijo: 'True', pero el otro 'False', ¿cuál es la probabilidad de que la Afirmación es Verdadera?"

Que va a ser un montón de trabajo ... tendría que considerar la posibilidad de 9 resultados posibles (en cada grupo: ambos dicen 'True', dicen 'False', o un split) ... pero es más que nada un trabajo tedioso ... y tal vez eso va a llegar a un $77$ % de exactitud de los ...

Ahora, solo para demostrar cómo hacer este tipo de cálculo, voy a analizar el caso más similar a lo que acabo de describir, que es donde tanto los optimistas dicen 'False', y donde uno pesimista dice que 'True' y el otro 'False'.

OK, así que primero voy a insistir en el uso de una $T$ 'enunciado es verdadero' y un $F$ 'declaración es falsa' (en lugar de la $S$, lo que de por sí no es fácil saber lo que significa). También, vamos a usar $T_O$ 'optimista respuestas true', $T_P$ 'pesimista respuestas true', $F_O$ 'optimista respuestas falsas', y $F_P$ 'pesimista respuestas Falsas'.

Así, se nos da:

$P(T) = 0.30$

$P(F) = 1-0.70=0.30$

$P(T_O|T) = 0.75$

$P(F_O|T) = 1-0.75 = 0.25$

$P(F_O|F) = 0.40$

$P(T_O|F) = 1-0.40 = 0.60$

$P(T_P|T) = 0.40$

$P(F_P|T) = 1-0.40 = 0.60$

$P(F_P|F) = 0.90$

$P(T_P|F) = 1-0.90=0.10$

Vamos a calcular algunos de los más útiles de probabilidades. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que tanto los optimistas diciendo: 'False' y los pesimistas ser dividido (vamos a llamar a este evento $E$), suponiendo que la afirmación es verdadera ? Por la independencia de las respuestas, que sería:

$P(E|T) = 0.25^2 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot 2 = 0.03$ ($2$ es debido a la división entre los pesimistas puede suceder de dos maneras)

Del mismo modo:

$P(E|F) = 0.4^2 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 2 = 0.0288$

Esto significa que la probabilidad de que el evento $E$ que pasa es que:

$P(E) = P(E|T) \cdot P(T) + P(E|F) \cdot P(F) = 0.03 \cdot 0.3 + 0.0288 \cdot 0.7 = 0.009 + 0.02016 = 0.02916$

Por el Bayesiano Teorema, entonces podemos calcular las probabilidades de la declaración que se aplica en el caso de evento $E$:

$P(T|E) = \frac{P(E|T) \cdot P(T)}{P(E)} = \frac{0.03 \cdot 0.3}{0.02916} \approx 0.309$

Y así, este le dice que vaya con los optimistas respuesta de "Falso" (como usted tendrá la oportunidad de $1-0.309=0.691=69.1$% de conseguir la respuesta correcta), aunque la mitad de los pesimistas dicen que 'True'.

Así que sí, hacer estos cálculos para todos los 9 eventos, averiguar cuál es la mejor estrategia es, en cada caso, y luego calcular su esperado de precisión. Buena suerte! (y que me haga saber lo que pasa ... tal vez buscando a 2 personas de cada grupo no es suficiente ... 3 de hecho sería interesante, porque entonces siempre habría una mayoría respuesta para cada grupo ... y de nuevo el interesante caso sería el caso en que todos los optimistas dicen 'False', y donde dos de los pesimistas dicen 'True' y dice: 'False' ... para, a continuación, la "mayoría" respuesta sería diferente entre los dos grupos, pero yo creo (ojo-balling este) en ese caso sería mejor ir con la optimistas " mayoría respuesta de 'False')

ANEXO 2

OK, yo no podía soportar el suspense ... si sigues la estrategia de buscar las respuestas de dos de los optimistas y dos pesimistas, y elegir lo más probable es que el correcto valor de verdad del enunciado dado sus respuestas, se llega a ... drumroll ...) $77.6$%! Así que sí, eso es!