Construcción de un campo finito de orden 27

Question

Por lo que algunas de mis reflexiones para la construcción de un campo finito de orden 27 me están haciendo pensar en un campo con elementos de $p^n$, donde $p = 3$ y $n = 3$ tal que queremos un polinomio cúbico en $\mathbb{F}_3[X]$ que no factor.

¿Puede esto considerarse como buscando un polinomio cúbico en $\mathbb{F}_3[X]$ con no tiene ninguna raíz en $\mathbb{F}_3$? ¿Podría este trabajo polinomio: $x^3 + 2x^2 + 1$?

Answer 1

Sí, funciona: es irreducible porque no tiene ninguna raíces en $\mathbb{Z}_3$ (y $\mathbb{Z}_3$ es un campo). Así, el anillo cociente del $\mathbb{Z}_3[x]/(x^3 + 2x^2 +1)$ es un campo que tiene $3\cdot 3\cdot 3$ elementos.