Demostrar que en un ring con $x^3 = x$ tenemos $x+x+x+x+x+x=0$.

Question

Este fue un ejercicio de un curso de álgebra abstracta en la Universidad de Groningen. He estado trabajando en esto durante años, pero me parece que no puede averiguar.

Problema

Deje $R$ ser un anillo con $\forall x \in R: x^3 = x$. Demostrar que $x+x+x+x+x+x=0$.

Trató de

Si $x=0$, la declaración es, por supuesto, trivial.

Si $x \neq 0$,$x(x^2-1)=0=(x^2-1)x$, lo $x^2 = 1$, lo $x$ es una unidad, o $x^2-1$ $x$ cero divisores.

Y esto es lo más lejos yo... Cualquier ayuda se agradece! :)

Edit: guía de respuesta

La siguiente sugerencia fue proporcionada por Abel:

$$\begin{align} x \in R &\implies x+x \in R\\ &\implies x+x=(x+x)^3 \end{align}$$

Si a continuación, el trabajo de todas las condiciones, la respuesta seguirá rápidamente.

Answer 1

Prueba $x+x = (x+x)^3$ y ampliar esta última.

Answer 2

Cuando el examen de las consecuencias de una identidad en un álgebra, el lugar natural para empezar es la tierra, es decir, el suelo términos generados por la evaluación de la identidad en las constantes del álgebra. Para los anillos tenemos constantes $0$$1$, de modo natural a mirar primero lo que la identidad implica en la sub-anillo generado por estas constantes. En nuestro ejemplo, tenemos la identidad de $\rm\ f(x) = x^3\!-x = 0,\ $, por lo que podemos deducir que $\rm\:f(0)=0,\ f(1)=0,\ \color{#C00}{f(2) = 6},\ f(3) = 24,\,\ldots$ son todos cero. Por lo tanto $\rm\:\color{#C00}6 = 0\:\Rightarrow\:6x = 0.\:$

La prueba se generaliza a los anillos sin $1$, simplemente evaluar $\rm\:f\:$ $\rm\:\color{#C00}{2x} = x\!+\!x\:$ en lugar de al $\rm\:\color{#C00}2.\:$, De hecho, podemos deducir más identidades mediante el polinomio aritmético de las identidades. Por ejemplo, podemos fácilmente inferir $\rm\: 0 = f(x\!+\!1)-f(x) = 3\,(x^2\!+\!x).\:$ forma Más general, podemos calcular gcds/como resultado de $\rm\:f(x\!+\!n),\,f(x),\:$ y más complejo eliminaciones mediante multivariante generalizaciones del algoritmo de Euclides (por ejemplo, bases de Grobner). Estas técnicas son útiles cuando atacar problemas más difíciles, por ejemplo, Jacobson conmutatividad teorema: $\rm\: x^{n} = x\:\Rightarrow\:xy = yx$.