¿Es posible tener bolas de $2^{2015}$ en una caja de acuerdo con estas reglas?

Question

Tengo el siguiente ejercicio, de contar, de especialmente.

Ejercicio Obras tiene un gran saco de bolas y tres cajas vacías, $A$, $B$ & $C$. Coloque las bolas en las cajas de acuerdo a la siguiente normativa (en cualquier orden, y cómo muchas veces que quiera):

• (a) Se puede llevar a cabo una cierta cantidad de bolas de la caja de $A$, y añadir la misma cantidad de bolas, cuadrado, en el cuadro de $B$.

• (b) Se puede llevar a cabo una cierta cantidad de bolas de la caja de $B$ y añadir el doble de la cantidad en el cuadro de $C$

• (c) Se puede llevar a cabo todas las bolas en el cuadro de $C$ y añadir esa cantidad en el cuadro de $A$ y el cuadro de $B$ (por Ejemplo, si él tenía la $9$ bolas en $C$, añadió $9$$A$$9$%#%, y permanecerá $B$ $0$

Inicialmente ha $C$ pelota, y se puede poner en cualquier cuadro:

A) Es posible obtener $1$ bolas en la caja de $2^{2015}$, y que las otras dos casillas están vacías?

B) Y si el destino se $C$ pelotas?

Lo que tengo hasta ahora

-No importa donde se coloca la primera bola, siempre vas a tener un par de números de las bolas en el cuadro de $2^{2014}$ en el segundo movimiento.

-si partimos de la final, el penúltimo movimiento de $C$$2^{2014}$.

Junto con esto, usted debe encontrar una manera, agradecería cualquier ayuda! Gracias!

Answer 1

Siempre es posible hacer un poder de $2$ conteo de bolas en $C$ con las otras cajas vacías, ignorando las limitaciones de tiempo, de la siguiente manera:

Incluso para los poderes de $2$, comenzar con el balón en el cuadro de $B$ y mover a la casilla de $C$ conseguir $2$ bolas de allí. Por extraños poderes de $2$, comience con la sola bola en el cuadro de $C$. A continuación, proceder como sigue:

• $M1$: Realizar mover (c) $\qquad [A \leftarrow C, B \leftarrow C, C \leftarrow 0]$
• $M2$: Realizar mover (a) $\color{blue}{\text{with }1\text{ ball}}$ varias veces hasta que la caja está vacía, efectivamente mover el contenido de la caja en la caja B $ \qquad k[A \leftarrow A-1, B \leftarrow B+1^2]$
• $M3$: Realizar mover (b) $\qquad [C \leftarrow 2B, B \leftarrow 0]$

En este punto el contenido de $C$ se han multiplicado por 4 en comparación con el inicio del proceso. Repita estos pasos hasta que el número deseado es alcanzado.

Por supuesto que esto es muy ineficiente proceso, y numerosos accesos directos para cualquier número de destino podría sin duda ser encontrado.

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Paso $M2$ puede ser modificado para proporcionar un acelerado el paso a través de los poderes de la $2$, una vez que el número de bolas en $A$ al inicio del paso pone lo suficientemente grande.

Como el primer ejemplo, si el número inicial de bolas en $A$, $n\ge 8$, entonces podemos tomar grupos de $4$ para la media de $n$, luego los grupos de $2$ para el resto. Esto le da a $$|B| = n + 4\frac n2 + 2\frac n2 = n+2n+n = 4n$$ en lugar de $|B|=2n$ ya que de lo contrario sería. Como $|A|$ se hace más grande, más aceleración es posible:

para $n=|A|\ge 64$ podemos tomar grupos de $16,8,2$ $$|B| = n + 16\frac n4+ 8\frac n4 + 2\frac n2 = n+ 4n+2n+n = 8n$$

para $n=|A|\ge 128$ podemos tomar grupos de $32,16,8,4$ $$|B| = n + 32\frac n4 + 16\frac n4+ 8\frac n4 + 4\frac n4 = n+8n +4n+2n+n = 16n$$

para $n=|A|\ge 1024$ podemos tomar grupos de $128,64,16,8,4$ $$|B| = n + 128\frac n8 + 64\frac n8+ 16\frac n4 + 8\frac n4 + 4\frac n4 = n+16n +8n +4n+2n+n = 32n$$

y así sucesivamente

Esto también significa que no es necesario ajustar el inicio del proceso a la paridad del poder de dos dirigidos.