Existencia de un minimizador para $\int_0^1|P(t)|\,{\rm d}t$.

Question

Sea $m > 0$ un entero fijo. Demuestra que entre todos los polinomios $P \in \Bbb C[X]$ con grado $\leq m$ y con $P(0)=1$, hay uno que minimiza el valor $\int_0^1|P(t)|\,{\rm d}t$.

Mi intento: Sea ${\cal P}^m$ el conjunto de todos los polinomios en $\Bbb C[X]$ con $P(0)=1$. Soy consciente de que $$\|P\| = \int_0^1 |P(t)|\,{\rm d}t$$ es continua porque es una norma. Dado que ${\cal P}^m$ y $\Bbb R$ tienen dimensión finita, y $T: {\cal P}^m \to \Bbb R$ dado por $T(P) = P(0)$ es lineal, $T$ es continua, por lo que: $$ \{ P \in {\cal P}^m \mid P(0) = 1 \} = T^{-1}(\{1\})$$ es un conjunto cerrado. Si pudiera demostrar que está acotado, tendríamos compacidad (debido a la dimensión finita) y podría concluir el resultado por el teorema del extremo de Weierstrass. Pero si tomas $m=1$ y ves a $T$ como una proyección, es claro que el conjunto no es compacto, así que no creo que esté yendo por el camino correcto.

¿Hay alguna manera de salvar mi trabajo hasta ahora? Si alguien puede darme pistas también está bien. Gracias.

Answer 1

La observación clave aquí es que los conjuntos de nivel de la función son compactos (como has observado, el conjunto de todos los puntos factibles no es compacto). De hecho, el conjunto de todos los $P$ que satisfacen $P(0)=1$ $$ \int_0^1 |P(t)|dt\le 1 $$ está acotado en $L^1$. Ahora, el espacio subyacente es de dimensión finita, por lo tanto este conjunto es compacto (¿es cerrado como la intersección de la bola unitaria $L^1$ con el subespacio cerrado $\{P:P(0)=1\}$).

Ahora puedes aplicar el teorema de Weierstrass.