Probar esta desigualdad con $n$ variables

Question

<blockquote> <p>Que $x_{i}>0(i=1,2,\cdots,n),n\ge 3$. prueba %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Tratar de probar encontrar una función como esta $$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{S-x_{i}}+\dfrac{n^n\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{(n-1)(n-2)S^n}\ge\dfrac{n-1}{n-2},~~~~~~~~~S=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ esos $f$$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{S-x_{i}}\ge f\left(\dfrac{S^n}{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x_{i}}\right)$ desigualdad de AM-GM$ para probarlo. Pero hasta ahora no pude encontrar esta función.</p>

Answer 1

Ampliando la respuesta en los comentarios, se da un contraejemplo con $x_i > 0$ $x_i = a$. Entonces $S = an$ y tenemos

$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{an-a}+\dfrac{n^na^n}{(n-1)(n-2)a^nn^n}\ge\dfrac{n-1}{n-2}$ $ $$\iff\dfrac{n}{a(n-1)}+\dfrac{1}{(n-1)(n-2)}\ge\dfrac{n-1}{n-2}$ $ $$\iff\dfrac{n(n-2)}{a}+1\ge(n-1)^2$ $ $$ \iff n (n-2) + a\ge (n-1) ^ 2\ \iff un \leq 1$ $ desde $n > 2$. Por lo tanto, escoger cualquier $a > 1$, decir, $a = 2$ da un contraejemplo.