Es decir, cuál sería la motivación de los matemáticos para restringir su condición a solo funciones medibles. El deseo de integrabilidad es uno. ¿Qué más?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cada rama de las matemáticas utiliza ciertos conjuntos como sus bloques de construcción básicos. En teoría de la medida que estos sean medibles espacios, en la topología de espacios topológicos, en álgebra lineal espacios vectoriales, etc.
Que consideramos medibles espacios (es decir, espacios dotados de una $\sigma$-álgebra en ellas, es decir, pares de $(\Omega, \mathcal{A})$) tiene que ver con el basic abstracciones de lo que un volumen es, lo que conduce a la noción de medida. Resulta que la mejor manera de pensar acerca de que los conjuntos de medida, es decir, tomar "volúmenes", conduce a $\sigma$-álgebras.
Ahora nos gustaría considerar mapas entre varios de estos espacios medibles, es decir, $f \colon (\Omega_{1}, \mathcal{A}_{1}) \rightarrow (\Omega_{2}, \mathcal{A}_{2})$ que son "compatibles" con su $\sigma$-álgebras. Un caso de particular importancia es que donde se tiene una medida en el espacio de dominio, es decir,$f \colon (\Omega_{1}, \mathcal{A}_{1}, \mu_{1}) \rightarrow (\Omega_{2}, \mathcal{A}_{2})$. Te gustaría utilizar esta opción para definir una medida $\mu_{2}$ sobre su destino en el espacio. ¿Cómo lo harían?
La forma más natural para definir (tenga en cuenta que, por lo que escribí anteriormente, las medidas "en vivo" en $\sigma$-álgebras, por lo que necesitamos saber lo $\mu_{2}$ es en cualquiera de los conjuntos de la $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}_{2}$) $$ \mu_{2}(A_{2}) := \mu_{1}(f^{-1}(A_{2})). $$ Pero para que esto tenga sentido, como $\mu_{1}$ "vive" en el $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}_{1}$, tenemos la siguiente condición: $$ \forall A_{2} \in \mathcal{A}_{2}: \quad f^{-1}(A_{2}) \in \mathcal{A}_{1}, $$ es decir, la medición de la mapa de $f$.
Edit: Lo @HennoBrandsma ha sido asintiendo con la cabeza hacia la noción de una categoría. Simplemente hablando, en la categoría de teoría vistazo a las categorías, las cuales son las clases de objetos (normalmente en el nivel de conjuntos) que son de interés, y los que mencioné al principio de mi post (espacios topológicos, etc.) son precisamente los objetos de estas categorías. Pero para que las cosas se pongan interesantes, se necesita pasar de un objeto a otro de una manera significativa. Estas asignaciones se llama morfismos, y en cada categoría de estos morfismos tienen propiedades diferentes, todos los cuales asegurarse de que las estructuras en que los objetos son compatibles con estas asignaciones. Así, por ejemplo, en la categoría de espacios vectoriales (que tiene una estructura lineal, es decir, usted puede agregar y escala de los vectores), los morfismos son los mapas que respetar esta estructura lineal, es decir, lineal o mapas de homomorphisms. En la topología de los mapas que respecto a la topología son continuos los mapas, y en teoría de la medida de sus morfismos son medibles mapas. Este "pensamiento categórico" proporciona una buena manera de resumir una gran cantidad de resultados y conceptos en las diversas ramas de las matemáticas.
Así que si usted tiene suficiente experiencia, que esperan que hay mapas que preservan la estructura de los objetos y que estos mapas juegan un papel importante. Pero todo esto era abstracto tonterías, por lo que si es demasiado abstracto para usted, sólo se adhieren a la explicación dada anteriormente.
