El caso separable se desprende efectivamente del lema de Krasner: véase aquí .
Creo que tengo un contraejemplo para el caso puramente inseparable. La idea es que unimos todas las posibles $p$ -raíces de elementos en el campo de la tierra $K$ , donde $p$ es la característica, resultando un nuevo campo $L$ a la que se extiende la valoración original de forma única (porque $L/K$ es algebraico). Entonces todo $p$ -enfermedades de $\ell\in L$ mienten en $K$ esencialmente por el sueño del novato, y de hecho el mapa $L\rightarrow K$ dado por $\ell\rightarrow\ell^p$ es un homeomorfismo uniformemente continuo con una inversa uniformemente continua. Por lo tanto, $L$ está completo siempre y cuando $K$ es.
Sólo tenemos que asegurarnos de que podemos hacer esto con $K$ un campo completo y tener suficiente $p$ -a las raíces para hacer $[L:K]=\infty$ . Para asegurarnos de ello, simplemente adjuntaremos un montón de variables ficticias formando $K$ y el $p$ -Las raíces de estas variables ficticias serán linealmente independientes. Comenzamos con el campo de las funciones racionales en infinitas variables sobre $\mathbb{F}_p, $ a saber: $\mathbb{F}_p(x_1,x_2,\dots).$ Como norma tomamos la inducida por $|x_1|=\frac{1}{2}$ y $|R(x_2,x_3,\dots)|=1$ para todas las funciones racionales $R$ , esencialmente el $x_1$ -Valoración de la demanda. Todavía tenemos que completar esto, y es fácil ver que la terminación es el campo de series infinitas de Laurent en $x_1$ expresiones de la forma $\sum\limits_{k=-n}^{\infty} (x_1^k)R_k(x_2,x_3,\dots)$ donde $R_k$ son funciones racionales arbitrarias. Esta terminación es nuestro campo base $K$ .
Después de unir todos los $p$ -a las raíces para formar $L$ como se ha descrito anteriormente, sólo tenemos que comprobar que $(x_i)^{\frac{1}{p}}$ son linealmente independientes sobre $K$ Esto demostrará que $[L:K]=\infty$ . Bueno, esto es bastante fácil: ¡suponga que no! Entonces tomando $p$ -y utilizando de nuevo el sueño del novato, obtenemos una identidad no trivial de la forma $\sum\limits_{i=1}^m x_i P_i(x_1^p,x_2^p,\dots)=0$ para $P_i \in K$ . Podemos considerar el más pequeño $j$ de manera que uno de los $x_iP_i(x_1^p,x_2^p,\dots)$ tiene una serie no nula $x_1^j$ -Término. Tomando el $x_1^j$ -coeficiente de nuestra identidad tenemos $0=\sum\limits_{i=2}^m x_i S_i(x_2^p,x_3^p,\dots)$ donde $S_i$ es el $x_1^j$ -coeficiente de $P_i$ (está claro que el $x_1P_1(x_1^p,x_2^P,\dots$ ) no aporta un $x_1^j$ término; si lo hiciera, sería el único en hacerlo). El $S_i$ son funciones racionales, por lo que al despejar los denominadores son polinomios wlog, ya que tenemos un número finito de $S_i$ cada una de ellas utilizando sólo un número finito de variables. Pero ahora los términos monomiales claramente no coinciden en absoluto, por lo que tenemos una contradicción, y hemos establecido la independencia lineal.
