¿Cómo demostrar que cualquier extensión algebraica infinita de un campo completo nunca es completa?

Question

Mi primera idea es utilizar el teorema de la categoría de Baire ya que pensé que una extensión algebraica infinita debería ser de grado contable. Sin embargo, esto es erróneo, según este puesto .

Este enfoque puede seguir funcionando si es cierto que las extensiones algebraicas infinitas de campos completos tienen grado contable . Por ejemplo, las extensiones algebraicas infinitas de campos locales son de grado contable. Me pregunto si esto es cierto para el caso general.

Otro enfoque posible es generalizar la prueba en Bosch, Güntzer, Remmert: Análisis no arquimédico , Lemma 1, sección 3.4.3. Donde se utiliza Lemma de Krasner para demostrar que si el cierre algebraico de un campo completo es de grado infinito entonces no es completo. Sin embargo, el lema de Krasner sólo funciona para elementos separables, así que me pregunto si esta prueba puede utilizarse para extensiones infinitas puramente inseparables de campos completos .

Answer 1

El caso separable se desprende efectivamente del lema de Krasner: véase aquí .

Creo que tengo un contraejemplo para el caso puramente inseparable. La idea es que unimos todas las posibles $p$ -raíces de elementos en el campo de la tierra $K$ , donde $p$ es la característica, resultando un nuevo campo $L$ a la que se extiende la valoración original de forma única (porque $L/K$ es algebraico). Entonces todo $p$ -enfermedades de $\ell\in L$ mienten en $K$ esencialmente por el sueño del novato, y de hecho el mapa $L\rightarrow K$ dado por $\ell\rightarrow\ell^p$ es un homeomorfismo uniformemente continuo con una inversa uniformemente continua. Por lo tanto, $L$ está completo siempre y cuando $K$ es.

Sólo tenemos que asegurarnos de que podemos hacer esto con $K$ un campo completo y tener suficiente $p$ -a las raíces para hacer $[L:K]=\infty$ . Para asegurarnos de ello, simplemente adjuntaremos un montón de variables ficticias formando $K$ y el $p$ -Las raíces de estas variables ficticias serán linealmente independientes. Comenzamos con el campo de las funciones racionales en infinitas variables sobre $\mathbb{F}_p,$ a saber: $\mathbb{F}_p(x_1,x_2,\dots).$ Como norma tomamos la inducida por $|x_1|=\frac{1}{2}$ y $|R(x_2,x_3,\dots)|=1$ para todas las funciones racionales $R$ , esencialmente el $x_1$ -Valoración de la demanda. Todavía tenemos que completar esto, y es fácil ver que la terminación es el campo de series infinitas de Laurent en $x_1$ expresiones de la forma $\sum\limits_{k=-n}^{\infty} (x_1^k)R_k(x_2,x_3,\dots)$ donde $R_k$ son funciones racionales arbitrarias. Esta terminación es nuestro campo base $K$ .

Después de unir todos los $p$ -a las raíces para formar $L$ como se ha descrito anteriormente, sólo tenemos que comprobar que $(x_i)^{\frac{1}{p}}$ son linealmente independientes sobre $K$ Esto demostrará que $[L:K]=\infty$ . Bueno, esto es bastante fácil: ¡suponga que no! Entonces tomando $p$ -y utilizando de nuevo el sueño del novato, obtenemos una identidad no trivial de la forma $\sum\limits_{i=1}^m x_i P_i(x_1^p,x_2^p,\dots)=0$ para $P_i \in K$ . Podemos considerar el más pequeño $j$ de manera que uno de los $x_iP_i(x_1^p,x_2^p,\dots)$ tiene una serie no nula $x_1^j$ -Término. Tomando el $x_1^j$ -coeficiente de nuestra identidad tenemos $0=\sum\limits_{i=2}^m x_i S_i(x_2^p,x_3^p,\dots)$ donde $S_i$ es el $x_1^j$ -coeficiente de $P_i$ (está claro que el $x_1P_1(x_1^p,x_2^P,\dots$ ) no aporta un $x_1^j$ término; si lo hiciera, sería el único en hacerlo). El $S_i$ son funciones racionales, por lo que al despejar los denominadores son polinomios wlog, ya que tenemos un número finito de $S_i$ cada una de ellas utilizando sólo un número finito de variables. Pero ahora los términos monomiales claramente no coinciden en absoluto, por lo que tenemos una contradicción, y hemos establecido la independencia lineal.

Answer 2

No veo cómo generalizar la prueba del libro de Bosch-Güntzer-Remmert. Lo mismo ocurre con el planteamiento de la categoría Baire, que en efecto parece muy natural. Sin embargo, creo que esto debería funcionar. El argumento no es mío. Básicamente lo escribiré, por si alguien borra el .pdf en el futuro. Cualquier error que se produzca en este post se debe a mí y recomendaría leer el .pdf de arriba ya que está escrito de forma más coherente que este post.

Nótese que no hay ninguna restricción para considerar campos infinitos. Asumiré en todo momento que la valoración es no arquimediana (el caso arquimediano es, por supuesto, trivial).

Dejemos que $K$ sea cualquier campo infinito y consideremos una extensión algebraica infinita $L$ de $K.$ Entonces tienes que $|L| = |K|.$ Esto se discute en esta pregunta .

A partir de esto, afirmo que si $K \subset L$ es una extensión algebraica infinita y $K$ y $L$ están completos, entonces $|K| < |L|,$ lo que da una contradicción.

En efecto, tomemos un subconjunto (contablemente) infinito y linealmente independiente $\{x_i\}$ de $L$ en $K.$ Ahora, podemos suponer que elegimos $x_i$ de tal manera que $|x_i|/2 > |x_{i+1}|.$ Entonces tenemos que las sumas $$\omega_{\epsilon} = \sum \epsilon_i x_i$$ donde $\epsilon_i \in \{0,1\}$ están en $L$ y además son distintos.

Que todo suma $\omega_{\epsilon}$ están en $L$ está claro - los términos forman una secuencia nula y para los campos no arquimédicos esto es suficiente. Además, tomemos dos sumas $\omega_{\epsilon} = \sum_i \epsilon_i x_i$ y $\omega_{\epsilon'} = \sum_i \epsilon'_i x_i$ donde para algunos $i$ $\epsilon_i \neq \epsilon'_i.$ Entonces, si consideramos la diferencia $\omega_{\epsilon}-\omega_{\epsilon'} = \sum_i (\epsilon_i-\epsilon'_i)x_i$ hay un mínimo $i_0$ tal que $\epsilon_{i_0} \neq \epsilon'_{i_0}.$ Entonces tenemos que $$|(\epsilon_{i_0} - \epsilon'_{i_0})x_{i_0}| = |\sum_{k=i_0}^\infty (\epsilon_k-\epsilon'_k) x_k| < |\sum_{k=1}^\infty (\epsilon_{i_0}-\epsilon'_{i_0})x_{i_0}/2^k = |(\epsilon_{i_0} - \epsilon'_{i_0})x_{i_0}| .$$ Esto produce una contradicción y por lo tanto todos los $\omega_{\epsilon}$ son distintos. Así que usando estos $\omega_\epsilon$ vemos que $|K| < 2^{|K|} \leq |L|$ que es una contradicción.