número de funciones lineales 1 a 1 en espacios vectoriales sobre campos finitos

Question

Esto no es una tarea. Simplemente me hice esta pregunta y pensé que sería fácil de resolver. Pero no conseguí la solución.

Sea $\mathbb{F}$ sea un campo finito con $|\mathbb{F}|=q$ . Considere la $\mathbb{F}$ -vectorespacios $V_1=\mathbb{F}^n,V_2=\mathbb{F}^m$ con dimensiones $n<m$ .

¿Cuántos inyectivos, suryectivos y biyectivos lineal funciones $f\colon \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ ¿existe?

Mi enfoque es: Tenemos cualquier base $b_1,\ldots,b_n$ de $V_1$ y $c_1,\ldots,c_m$ de $V_2$ . Está claro que sólo tenemos que tratar la función sobre este y no puede haber ninguna función lineal biyectiva ya que $n<m$ . Contar las funciones debe ser similar a contar las posibilidades de hacer un mapa inyectivo de $b_1,\ldots,b_n$ de $V_1$ a $c_1,\ldots,c_m$ de $V_2$ .

¿Cómo obtengo el número de funciones inyectivas?

Answer 1

Si he entendido bien, ya sabes que no hay funciones suryectivas ni biyectivas puesto que $|\mathbb F^n|\lt|\mathbb F^m|$ .

Para contar las funciones inyectivas, elija un vector distinto de cero en $\mathbb F^m$ al mapa $b_1$ a - hay $q^m - 1$ opciones. Ahora elija un vector linealmente independiente para mapear $b_2$ a - hay $q^m-q$ elecciones. Siguiendo así, tienes

$$\prod_{k=1}^n\left(q^m-q^{k-1}\right)$$

posibilidades en total.