Prueba $\sqrt{60}$ es irracional?

Question

Prueba $\sqrt{60}$ es irracional. Estoy tratando de basar esto en una prueba que $\sqrt{6}$ es irracional, que encontré aquí .

Seguí exactamente los mismos pasos y terminé con $c^2$ = $15b^2$ . Esto fue en el punto donde el ejemplo tuvo $2c^2$ = $3b^2$ pero el ejemplo fue capaz de deducir que $3b^2$ es par, ya que es igual a un número de veces $2$ que siempre es par, lo que significa que $b^2$ tiene que ser par porque su coeficiente es impar. Y porque $b^2$ está en paz, $b$ también debe serlo, lo que lleva a la contradicción a la que quiero llegar.

Con mi ejemplo, no puedo decir inmediatamente que $15b^2$ es par porque no hay un coeficiente par delante de $c^2$ . A partir de ahí me he quedado perplejo.

Answer 1

$\sqrt{60}=2\sqrt{15}$ Así que sólo tenemos que demostrar $\sqrt 15$ es irracional. Supongamos que no; $\sqrt{15}=a/b$ . Entonces $15b^2=a^2$ . Pero el factor $3$ aparece un número impar de veces a la izquierda y debe aparecer un número par de veces a la derecha (lo mismo ocurre con $5$ ), por lo que esta igualdad es imposible.

Answer 2

Homenaje a G. H. Hardy

Supongamos que $\sqrt{60}=\frac{m}{n}$ donde $m,n\in \mathbb{N}$ .

Dejemos que $\frac{m}{n}$ sea en términos más bajos.

Vea también que $\sqrt{60}=60\times \frac{1}{\sqrt{60}}=\frac{60n}{m}$ .

Por lo tanto, $\sqrt{60}=\frac{60n}{m}=\frac{7m}{7n}=\frac{60n-7m}{m-7n}$ .

Tenga en cuenta que $7 < \sqrt{60} < 8$ .

Así, $7 < \frac{m}{n} < 8$ o $0<m-7n<n$ .

Como resultado, $\frac{60n-7m}{m-7n}$ es inferior a $\frac{m}{n}$ , este contradice con la suposición.

Por lo tanto, $\sqrt{60}$ debe ser irracional.

Answer 3

Sólo una estrategia más complicada utilizando Fracciones continuas :

no es difícil demostrar que un número real es racional si tiene una representación de fracción continua que tiene todas $0$ es partir de un punto determinado como éste: $[a_0;a_1,\cdots a_n,0,0,0,\cdots]$ avec $a_0 \geq 0$ entero y $a_i > 0$ enteros. De hecho, si se tiene este tipo de CF es trivial en $\mathbb Q$ la inversa viene dada por la división euclidiana en $\mathbb Z$ que finalmente termina.

Ahora calcule $\sqrt {60}=[7;\overline{1,2,1,14}]$ por ejemplo con una calculadora o con las manos, esto es periódico por lo que no es $0$ definitivamente.

Además, al ser periódica, es una número cuadrático irracional lo cual no es una gran sorpresa ya que resuelve $x^2 - 60=0$ .