¿Por qué el grupo fundamental del círculo es tan poco trivial?

Question

Recientemente he aprendido que el grupo fundamental del círculo es isomorfo a $\mathbb{Z}$ . Me cuesta imaginarme los bucles en $S^1$ ¿Puede intuir por qué ese grupo tiene una estructura tan rica?

Answer 1

Creo que una cosa que puede confundirte es que estás imaginando un "bucle" en un espacio como un círculo sentado dentro del espacio. Esta imagen es incorrecta: un bucle es un mapa desde un círculo a su espacio, ¡pero este mapa no tiene por qué ser inyectivo! Así que tu visión de un bucle debería ser dinámica: es un camino que puedes trazar en el espacio y que puede cruzarse o repetirse, no sólo un subconjunto fijo del espacio.

Con esta imagen, los bucles en $S^1$ correspondientes a los elementos de $\mathbb{Z}$ son bastante simples. A saber, un entero no negativo $n$ corresponde al camino que da toda la vuelta al círculo $n$ veces en sentido contrario a las agujas del reloj. Los números enteros negativos son parecidos, excepto que se recorren en el sentido de las agujas del reloj. Así que, aunque un círculo sólo tiene un "bucle" que recorrer, un camino puede atravesar ese bucle varias veces (y puede ir hacia delante o hacia atrás), y así es como acabas con todo un $\mathbb{Z}$ en el grupo fundamental.

Answer 2

Imagina cualquier bucle $\gamma$ en el plano perforado $\dot{\mathbb R}^2$ . El mapa de normalización $$\nu:\quad (x,y)\mapsto{1\over\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)$$ convierte $\gamma$ en el bucle $\gamma':=\nu\circ\gamma$ en $S^1$ . El $\gamma$ tiene un número de bobinado $$N(\gamma,0)={1\over2\pi}\int_\gamma\nabla{\rm arg}({\bf z})\cdot d{\bf z}\qquad\left(={1\over 2\pi i}\int_\gamma{dz\over z}\right)$$ con respecto al origen, y éste es también el número de enrollamiento (o el grado) de $\gamma'\subset S^1$ .

Uno de los hechos más básicos e importantes de la geometría y el análisis es que este grado caracteriza $\gamma$ , resp. $\gamma'$ hasta la homotopía - en otros términos: que el grupo fundamental de $S^1$ es cíclico.