Pregunta sobre el módulo de un campo numérico

Question

Milne define el conductor de una extensión abeliana $L/K$ como el módulo más pequeño $\mathfrak{m}$ tal que el mapa de Artin se factoriza como

$$\psi_{L/K}:I_K^{\mathfrak{m}}\to \textrm{Cl}_\mathfrak{m}(K)\to \textrm{Gal}(L/K)$$

Estoy tratando de entender la prueba clásica del teorema de Kronecker-Weber. Para que la prueba funcione, es necesario demostrar que dado un conductor $\mathfrak{m}$ y su campo de clase de rayos $L_\mathfrak{m}$, entonces las extensiones abelianas de $K$ contenidas en $L_\mathfrak{m}$ son precisamente los campos cuyo conductor divide a $\mathfrak{m}$. Por lo tanto, es necesario probar (denotando el conductor de $L/K$ por $\mathfrak{f}(L/K)$) que

$$\mathfrak{f}(L/K)\mid \mathfrak{m}\Rightarrow L\subset L_\mathfrak{m}$$

¿Alguien sabe cómo demostrar esto? He estado mirando algunos otros libros, pero parecen definir las cosas de manera diferente, por lo que las pruebas no se tradujeron a la definición de Milne, que es lo que estoy tratando de entender.

EDIT: Esta pregunta trata de completar los detalles en la Observación 3.8 en la página 155 en sus notas: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf

Answer 1

Nunca he leído las notas de Milne, así que no sé a qué te estás refiriendo en este punto.

Una forma de argumentar es la siguiente: Si el conductor $\mathfrak f$ de $L$ sobre $K$ divide a $\mathfrak m$, entonces todos los primos que se descomponen completamente en $L_{\mathfrak m}$ también se descomponen completamente en $L$. Ahora considera el compuesto de $L$ y $L_{\mathfrak m}$; se ve que los primos que se descomponen completamente en esta extensión son precisamente los primos que se descomponen completamente en $L_{\mathfrak m}$.

Pero una consecuencia estándar de la densidad de Cebotarev es: si $E_1$ y $E_2$ son dos extensiones de Galois del cuerpo de números $K$ (en algún cierre algebraico fijo $\overline{K}$) y los conjuntos de primos que se descomponen completamente en cada una de ellas coinciden (quizás excepto un número finito de primos malos), entonces $E_1$ y $E_2$ son iguales.

Esto implica que $L_{\mathfrak m} L = L_{\mathfrak m}$, es decir, que $L \subset L_{\mathfrak m}$, como se deseaba.

[En el contexto de extensiones abelianas hay otras demostraciones que evitan Cebotarev; por ejemplo, una vez que tienes todo el aparato de la teoría de cuerpos de clase, la inclusión que preguntas sigue inmediatamente. Pero el argumento anterior es un un argumento estándar e importante, que llega al corazón de cómo el comportamiento de descomposición puede determinar un campo --- después de todo, $L_{\mathfrak m}$ está definido a priori por el comportamiento de descomposición de primos, y es el resultado anterior el que muestra que este comportamiento de descomposición es suficiente para determinar de manera única a $L_{\mathfrak m}$.]