Dado el complejo contorno integral $\int_\alpha |z|\,|\mbox{d}z|$, $\alpha(t)=\mbox{e}^{it}$, $0\leq t\leq 2\pi$. ¿Qué significa $|\mbox{d}z|$? ¿Mi conjetura es: $$\frac{|\mbox{d}z|}{|\mbox{d}t|}= \frac{|\mbox{de}^{it}|}{|\mbox{d}t|}=\left|\frac{\mbox{de}^{it}}{\mbox{d}t}\right|=|i\mbox{e}^{it}|=1 \implies |\mbox{d}z|=|\mbox{d}t|.$ $ es esto correcto? Gracias de antemano.
Respuesta
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Sí, eso es correcto. Estás haciendo la sustitución de $z=\alpha(t)$$\mathrm{d}z=\alpha'(t)~\mathrm{d}t=\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}~\mathrm{d}t$.
Como usted dice: $|\mathrm{d}z|=|\alpha'(t)~\mathrm{d}t|=|\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}~\mathrm{d}t|=|\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}|~|\mathrm{d}t|=1~|\mathrm{d}t|=|\mathrm{d}t|$
Desde $t$ es real y $t$ aumenta de $0$ $2\pi$también tiene $|\mathrm{d}t|=\mathrm{d}t$.
Había $t$ disminución de$0$$-2\pi$, a continuación, su hubiera tenido $|\mathrm{d}t|=-\mathrm{d}t$.
Informalmente $|\mathrm{d}z|$ no está interesado en la dirección en que $z$ está cambiando, pero sólo el tamaño de los incrementos de $z$. Su integral es la medición del arco de longitud, por lo que no se preocupan por donde la curva se va, pero sólo cuán lejos va. No se preocupan por $\mathrm{d}z$, pero sólo $|\mathrm{d}z|$.
