¿Cómo se calcula realmente el amplituhedro?

Question

Estaba viendo el muy popular talk (descargar si usas chrome) (también en youtube aquí ) sobre el "Amplituhedron", que se ha hecho muy popular últimamente.

Habla de cómo el amplituhedron calcula el mismo resultado para las amplitudes de dispersión que la teoría de la peturbación ordinaria de una forma sencilla y elegante, pero no entiendo cómo se calcula realmente el amplituhedron para un determinado proceso de dispersión.

Según el reciente informe de TRF pos ts sobre los amplituhedros y por qué no llevan pañales, puedo entender que se puedan calcular las amplitudes de dispersión simplemente tomando el volumen de los amplituhedros (ignorando las constantes, supongo), pero ¿cómo se calcula realmente el amplituhedro?

Me ha dejado especialmente atónito la imagen (parece una especie de ejemplo concreto, no sé cómo han construido el amplituhedro):

Para resumir mi pregunta, ¿cómo se calcula o construye realmente el amplituhedro basándose en el proceso específico de scattzering?

Answer 1

A partir de esta pregunta, Arkani-Hamed, entre otros, ha publicado el texto, Geometría grassmaniana de las amplitudes de dispersión que dilucida de forma pedagógica el enfoque del amplituhedro.

Para entender completamente la derivación, hay que comprender muchos preliminares, pero intentaré presentar un cálculo relativamente autónomo de una amplitud, pero esto requiere aceptar algunos resultados a priori . El libro Amplitudes de dispersión de Elvang et al es también una buena referencia.

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La figura clave en el enfoque del amplituhedro es el Grassmanniano $\mathrm{Gr}(k,n)$ que es el espacio de todos los $k$ -aviones en un $n$ -espacio dimensional. Se tienen como elementos $n\times k$ matrices $C_{al}$ que son $k$ $n$ -vectores componentes que definen el plano en $\mathbb C^n$ .

Sin embargo, nótese que en el formalismo de la helicidad del espinor, al especificar los momentos como $p_{\alpha \dot \alpha} = \lambda_\alpha \bar{\lambda}_{\dot \alpha}$ podemos hacer el reajuste $\lambda_\alpha \to t_\alpha \lambda_\alpha$ y describen los mismos momentos, por lo que tenemos a $GL(1)$ redundancia. Para el Grassmanniano, esto significa que consideramos cualquier transformación lineal no degenerada para describir el mismo plano, y así tenemos un $GL(k)$ redundancia.

La clave para evaluar las amplitudes es la única integral cíclicamente invariante que genera todos los invariantes yangianos, dada por,

$$\mathcal L_{n,k}([i|, |i\rangle, \eta_i) = \int\frac{d^{n \times k} C}{GL(k) \prod_{j=1}^n M_j} \left[ \prod_{a=1}^k \delta^2 \left(\sum_i C_{ai}[i| \right) \delta^{(4)} \left(\sum_{i}^n C_{ai}{\eta_i}_A\right)\right] \times$$ $$\times \left[ \prod_{a'=k+1}^n \delta^2 \left(\sum_i \tilde C_{a' i} \langle i|\right)\right]$$

donde $M_j$ son los menores, y especificamos los datos externos como $([i|, |i\rangle, \eta_i)$ en el espacio del momento donde $\eta_i$ son los supersocios y $\tilde C$ es el complemento de $C$ . Resulta que este $\mathcal L_{n,k}$ es la integral invariante cíclica sobre todos los $k$ -en el Grassmanniano.

Las restricciones de la función delta significan geométricamente que el $2$ -plano abarcado por $[i|$ es ortogonal a la $k$ -avión $C$ y análogamente el plano definido por $|i\rangle$ es ortogonal a la $(n-k)$ -avión $\tilde C$ . Desde $C,\tilde C$ son complementarios, cada uno de ellos contiene respectivamente los planos abarcados por $[i|$ y $|i\rangle$ . A partir de la geometría, acabamos obteniendo la conservación del momento de forma gratuita: $$\sum_{i=1}^n |i\rangle [i| = 0.$$

Calculemos ahora $\mathcal L_{n,2}$ . Para $k=2$ identificamos los planos especificados por las matrices $C$ como los que abarcan los datos de los momentos. Tenemos,

$$\begin{pmatrix} C_{11} &C_{12} & \dots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |1\rangle^i &|2\rangle^i & \dots & |n\rangle^i\\ |1\rangle^{\dot 2} & |2\rangle^{\dot 2} & \dots & |n\rangle^{\dot 2} \end{pmatrix}.$$

La función delta bosónica codifica $\delta^{(4)}(P) = 0$ y la función delta de Grassmann codifica la conservación de los supermomentos, $\delta^{(8)}(\tilde Q) = 0$ . Los menores son,

$$M_i = \epsilon^{ab}C_{ai}C_{b,i+1} = -\epsilon_{\dot a \dot b} |i\rangle^{\dot a} |i+1\rangle^{\dot b} = -\langle i, i+1 \rangle$$

y combinando todos los factores se obtiene

$$\mathcal L_{n,2} = (-1)^n \frac{\delta^{(8)}(\tilde Q) \delta^{(4)}(P)}{\prod_{i=1}^n \langle i, i+1 \rangle}$$

que es la amplitud MHV a nivel de árbol, $\mathcal A_{n}^{\mathrm{MHV}}$ escrito en el formalismo espinor-helicidad compacto.

Answer 2

Para empezar, el formalismo del Amplituhedron sólo funciona para una teoría específica, N=4 SYM en el límite planar (sólo se consideran diagramas de Feynmann planares). Debido a la supersimetría, se pueden clasificar los procesos de dispersión con dos parámetros: $n$ y $k$ . n es el número de partículas implicadas, y k es, a grandes rasgos, el número de giros de espín en el proceso.

Además, también está el número de bucles $L$ en la que desea realizar el cálculo. Ten en cuenta que a nivel de bucle no estás calculando la (super)amplitud, sino el integrando de la amplitud. Es decir, gracias al límite planar, puedes definir unívocamente una función dependiente de datos externos + momentos virtuales que hay que integrar para obtener la amplitud. Para aclararnos, es lo que se obtiene si intercambiamos $\sum_{diagrams} \int_{loops} = \int_{loops} \sum_{diagrams}$ puede hacerlo sin ambigüedad porque la planaridad permite elegir un esquema para fijar las variables del bucle. Este integrando es lo que produce el Amplituhedron a nivel de bucle.

Ahora, para cualquier $n,k$ y $L$ y para datos externos fijos $Z$ (a $(k+4) \times n$ que codifica en última instancia los momentos y supermomentos externos) se construye un amplituhedro $A_{n,k,L}$ de forma estándar. A nivel de árbol ( $L=0$ ) es el subconjunto de $G_{+}(k,k+4)$ de puntos $Y$ escrito como $Y = C . Z$ para cualquier $C$ en $G_{+}(k,n)$ . A nivel de bucle es un poco más complicado, pero nada terrible.

Una característica importante del Amplituhedron es que se puede "triangular" de una manera muy interesante. (Por triangular entendemos dividirlo en zonas que sólo tienen en común su límite). De hecho, en un trabajo anterior se demostró que la amplitud/integrando de $n,k,L$ se escribe como una suma sobre ciertos diagramas on-shell, que a su vez etiquetan ciertas celdas en el Grassmanniano $G_{+}(k,n)$ . (Para obtener esta expresión de las amplitudes se utilizan las reglas BCFW). Si se considera la imagen de estas células bajo el mapa $Y = C . Z$ ¡se obtiene una triangulación para el Amplituhedron!

Ahora bien, estos Amplituhedra tienen "fronteras" de codimensión uno. Se trata de loci cero de funciones no negativas definidas en los Amplituhedra. Un punto crucial será que estos límites pueden ser escritos como producto de otros Amplituhedra. Se puede definir una forma de volumen (¿única?) en el Amplituhedron por la condición de que debe tener singularidades logarítmicas (es decir, como 1/x) en estos límites de codimensión uno.

Una forma concreta de hacerlo es considerar una triangulación de los Amplituhedra, por ejemplo la derivada de las relaciones de recursividad BCFW, como se ha indicado anteriormente. En cada "triángulo" ya se le da una forma que tiene singularidades logarítmicas en la cara del "triángulo". Esto es así porque las celdas de $G_{+}(k,n)$ utilizados en esta triangulación están dotados de gráficos positivos simples $(\alpha_1, ... , \alpha_d)$ que permite alcanzar un límite de la célula fijando determinados $\alpha$ a cero. Por lo tanto, las formas $\Pi d\alpha/\alpha$ tienen la propiedad deseada por celda. Basta con sumar estas formas sobre las celdas: los polos "espurios", asociados a los límites de celda que no son límites de amplituhedro se cancelan (son compartidos por dos celdas) y nos quedamos con las singularidades logarítmicas correctas.

Pero también se puede obtener esta forma de volumen de otras maneras, siguiendo directamente la definición, como se explica en el documento.

Finalmente, se evalúa la forma volumen obtenida anteriormente en un punto concreto de la amplituhedra, y lo que se obtiene es la amplitud/integrando.

El procedimiento parece un poco complicado y abstracto, pero en realidad la idea es bastante sencilla. La geometría del amplituhedro captura las intrincadas propiedades de factorización de amplitudes/integrandes requeridas por la Localidad y la Unitaridad: Los límites de un amplituhedro se factorizan en los correspondientes amplituhedros más pequeños. Por lo tanto, una forma con singularidades logarítmicas en estos límites tendrá también los polos y factorizaciones correctos.