¿Existe una prueba simple de que las leyes de circuitos de Kirchhoff siempre proporcionan un conjunto exactamente completo de ecuaciones?

Question

Supongamos que tengo un circuito eléctrico complicado que está compuesto exclusivamente de resistores y fuentes de voltaje y corriente, conectados de manera complicada. La forma estándar de resolver el circuito (es decir, encontrar el voltaje a través y la corriente a través de cada elemento del circuito) es formular las leyes de Kirchhoff tanto para corriente como para voltaje, y estas proporcionarán ecuaciones lineales que permitirán resolver todas las cantidades relevantes.

Sin embargo, hay dos problemas con estas leyes:

• Hay demasiadas. Por ejemplo, en el circuito simple a continuación, hay tres bucles diferentes posibles que se pueden trazar, pero solo dos voltajes independientes. Del mismo modo,

• Las ecuaciones no son todas independientes. En el circuito a continuación, las ecuaciones de conservación de corriente para los dos nodos diferentes resultan ser exactamente la misma ecuación.

Afortunadamente, en la vida real, estos problemas suelen cancelarse exactamente, y se obtiene el número correcto de ecuaciones para resolver el circuito. Nunca hay demasiados controles contradictorios (el sistema lineal nunca está sobre determinado) y siempre hay suficientes ecuaciones para fijar todo (el sistema lineal nunca está sub determinado).

¿Por qué sucede esto? ¿Hay alguna prueba simple de este hecho? ¿Cuáles son las razones fundamentales para ello?

Answer 1

La respuesta no es tan simple, para demostrar esto necesitamos algo de teoría de grafos y matrices. Existe un hermoso documento que explica esta relación en detalle:

Grafos, matrices y teoría de circuitos. Takis Konstantopoulus, febrero de 2000.

Disponible en Semantic Scholar; enlace original en la Universidad de Uppsala (ahora inactivo; versión archivada).

Creo que la "razón fundamental" de esto está relacionada con el hecho de que cada bucle tiene diferentes variables, si podemos generar un bucle usando otro bucle las ecuaciones no serán independientes, por supuesto, esta es mi opinión, toda la matemática está en el documento.

Answer 2

Aquí hay un contraejemplo:

Supongamos que dos baterías idénticas e ideales (con resistencia interna cero) están conectadas en paralelo a través de una sola resistencia; equivalente, reemplace una de las resistencias en su diagrama con una segunda batería idéntica. También suponga que los cables conductores son ideales (una vez más, sin resistencia).

Las leyes de Kirchhoff en este caso resultan en un sistema subdeterminado. Si la corriente a través de la sola resistencia es I y el voltaje a través de ambas baterías ideales es V, no se puede encontrar la corriente a través de cualquiera de las baterías usando solo las leyes de Kirchhoff; ambos bucles dan el voltaje a través de la resistencia como V, y ambas intersecciones dicen que la suma de las corrientes a través de las baterías debe ser igual a I, pero no permiten calcular ninguna de esas corrientes. Por ejemplo, una corriente de 3 I hacia arriba a través de una batería y 2 I hacia abajo a través de la otra satisface el sistema de ecuaciones. En este caso, tienes que usar un argumento de simetría para concluir que la corriente a través de cada batería es I/2.

Esto no es un problema usando equipos del mundo real, ya que las fuentes de voltaje siempre tienen alguna cantidad de resistencia interna asociada. Entonces, si estamos de acuerdo en usar elementos de circuito no ideales, entonces estoy de acuerdo con la respuesta que @Hu proporcionó.

Esto plantea indirectamente otra pregunta; ¿son significativas las leyes de Kirchhoff en circuitos ideales? Estoy seguro de que hay muchos más ejemplos como el anterior, donde el sistema resultante de ecuaciones lineales está subdeterminado (aunque dudo que haya casos que estén sobredeterminados). Usamos situaciones ideales para modelar sistemas reales, pero ¿es una buena idea cuando las respuestas son indeterminadas en el caso ideal?

Answer 3

Esta respuesta está adaptada del Problema 1.4 en Používáme lineární algebru, un libro de problemas resueltos de álgebra lineal (accesible de forma gratuita en línea pero desafortunadamente solo en checo, hasta donde sé). Mostraré que con las siguientes suposiciones:

• Tratamos con un circuito de CC o de CA (baja frecuencia) cuyos únicos elementos son resistores y fuentes de voltaje ideales,
• Cada arista del circuito lleva una resistencia no nula (positiva),

Las leyes de circuitos de Kirchhoff dan una solución única para la corriente y el voltaje en cada elemento del circuito.

Primero algunos comentarios. La unicidad es fácil de entender por motivos físicos. La linealidad de las leyes de Kirchhoff implica que solo puede haber más de una solución si el mismo circuito con las fuentes eliminadas (es decir, su voltaje establecido en cero sin cambiar la topología del circuito) puede soportar corrientes no triviales. La suposición de resistencia positiva de cada arista del circuito hace que esto sea físicamente imposible debido a la conservación de energía. Por la misma razón, creo que la misma afirmación es válida para circuitos de CA con otros elementos que no sean resistores siempre y cuando la impedancia de cada arista tenga una parte real positiva. Sin embargo, no me resulta inmediatamente obvio cómo el argumento a continuación se generaliza a este caso. También se puede ver fácilmente que al eliminar la suposición de resistencia positiva puede llevar tanto a ambigüedades en la solución como a patologías: ver las respuestas de Ryan Hazelton y Alfred Centauri. Finalmente, el mismo argumento debería aplicarse a circuitos con fuentes de corriente ideales debido a la dualidad entre los dos tipos de fuentes; la suposición de fuentes de voltaje ideales es solo por simplicidad de notación.

Ahora al negocio. Supondré sin pérdida de generalidad que el circuito está representado por un grafo conectado; de lo contrario, simplemente se consideran todos los componentes conectados uno por uno. El argumento sigue básicamente el método de voltaje de nodo. En el primer paso, nos damos cuenta de que la segunda ley de Kirchhoff (voltaje) es equivalente a la existencia de un potencial en el grafo. Supongamos que el circuito tiene $N$ vértices (nodos). Podemos elegir el potencial de uno de ellos arbitrariamente, digamos $u_1=0$. Para una solución dada de las leyes de Kirchhoff, entonces podemos obtener el potencial $u_i$ del $i$-ésimo vértice sumando las caídas de voltaje sobre los resistores y los voltajes entregados por las fuentes sobre cualquier camino conectando el $i$-ésimo vértice a $u_1$. La segunda ley de Kirchhoff garantiza que el resultado para $u_i$ es independiente de la elección del camino, y por lo tanto está bien definido.

En el segundo paso, tratamos con un conjunto de ecuaciones para los potenciales desconocidos $u_2,\dotsc,u_N$, implicados por la primera ley de Kirchhoff (corriente). Solo consideramos los vértices $2,\dotsc,N$, lo que da $N-1$ ecuaciones para los $N-1$ potenciales desconocidos. La ecuación para el $i$-ésimo vértice se lee simbólicamente $$ \sum_j\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij})=0, $$ donde la suma es sobre todos los vértices $j$ conectados a $i$ por una arista, $R_{ij}$ denota la resistencia en la arista $ij$, y $U_{ij}$ el voltaje entregado por las fuentes allí. Podemos escribir este conjunto de ecuaciones en forma matricial, $M\vec u=\vec U$, donde $\vec u=(u_2,\dotsc,u_N)^T$ y $\vec U$ contiene los datos de las fuentes. Los elementos diagonales de la matriz $M$ son $$ M_{ii}=\sum_j\frac1{R_{ij}}, $$ mientras que los elementos fuera de la diagonal son $$ M_{ij}= \begin{cases} -1/R_{ij}\text{ si $i$ y $j$ están conectados y $j\neq1$,}\\ 0\text{ de lo contrario.} \end{cases} $$ La positividad de todas las resistencias implica que $$ \sum_{j\neq i}|M_{ij}|\leq|M_{ii}| $$ para todo $i=2,\dotsc,N$. Además, hay tal $i$ (aquellos conectados por una arista a $u_1$) para los cuales se cumple la desigualdad estricta. Esto implica que la matriz $M$ es diagonalmente dominante, y por lo tanto invertible. Esto garantiza que el conjunto de ecuaciones para los potenciales $u_2,\dotsc,u_N$ tenga una única solución.

Una vez que se conocen todos los potenciales, las corrientes a través de todas las aristas del circuito se reconstruyen fácilmente. La corriente a través de la arista $ij$ es, simbólicamente, $$ I_{ij}=\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}). $$ Esto concluye el argumento, y muestra matemáticamente por qué la suposición de resistencias positivas es una condición suficiente para establecer la existencia de una solución única. Más generalmente, una solución única existe siempre que la matriz definida anteriormente, $M_{ij}$, que depende de la topología del circuito y las resistencias pero no de las fuentes, sea no singular. Si $M_{ij}$ es singular, puede haber más de una solución, o ninguna, como se sabe en álgebra lineal.

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EDITAR: En respuesta a los comentarios de Titti, aquí hay más detalles que justifican por qué la matriz $M$ es invertible. Desde la correspondiente página de Wikipedia, una matriz es invertible si (i) es diagonalmente dominante, (ii) se cumple la desigualdad estricta (dominancia diagonal estricta) al menos para un elemento diagonal, y (iii) es irreducible. Las dos primeras condiciones son verificadas explícitamente arriba. La irreducibilidad significa que los índices no pueden ser divididos en dos conjuntos $I,J$ tal que $M_{ij}=0$ para todos los $i\in I$ y $j\in J$. Si la matriz $M$ fuera reducible, entonces los nodos del circuito correspondientes a los conjuntos $I$ y $J$ necesariamente estarían desconectados, a menos que nuestro circuito consista en dos subcircuitos que solo se "tocan" en el vértice 1. Pero tales subcircuitos siempre se pueden tratar por separado. Con la suposición de que el circuito está conectado, la condición (iii) también se puede considerar satisfecha.

Answer 4

siempre hay suficientes ecuaciones para fijar todo (el sistema lineal nunca está subdeterminado).

Aquí hay un circuito ideal simple, que consiste en una fuente de corriente controlada por voltaje (VCCS) y una resistencia, donde la corriente de la resistencia $I_R$ no está determinada por las ecuaciones del circuito:

El voltaje a través de la resistencia (el terminal superior es positivo) se da por la ley de Ohm:

$$V_R = I_R\cdot 1\Omega$$

El voltaje de control de la VCCS es igual a $V_R$ por KVL, y la corriente de la resistencia es igual a la corriente de la VCCS por KCL. Por lo tanto, la corriente de la resistencia se da por

$$I_R = V_R \cdot 1\mho$$

y las ecuaciones del circuito dan como resultado

$$ I_R = I_R\cdot 1\Omega\cdot 1\mho = I_R$$

Es decir, cualquier valor de $I_R$ resuelve este circuito.

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Actualización para abordar este comentario:

La pregunta lista qué componentes están permitidos. Una VCCS no es uno de ellos. – Ben Crowell hace 1 hora

De hecho, la pregunta lista (1) resistencias, (2) fuentes de voltaje y (3) fuentes de corriente como los componentes permitidos según la oración de apertura:

Supongamos que tengo un circuito eléctrico complicado que está compuesto exclusivamente de resistencias y fuentes de voltaje y corriente...

Ahora, una VCCS es una fuente de corriente. El término "fuente de corriente", sin calificar con independiente o dependiente (controlada), puede referirse a ambos tipos.

Una fuente de corriente ideal genera una corriente que es independiente de los cambios de voltaje a través de ella.... Si la corriente a través de una fuente de corriente ideal puede especificarse independientemente de cualquier otra variable en un circuito, se llama fuente de corriente independiente. Por el contrario, si la corriente a través de una fuente de corriente ideal está determinada por algún otro voltaje o corriente en un circuito, se llama fuente de corriente dependiente o controlada.

Puede ser que Emilio solo esté interesado en circuitos con fuentes independientes para esta pregunta. Pero ciertamente no es el caso que la pregunta establezca explícitamente eso, ni es el caso que se pueda concluir racionalmente que las fuentes dependientes están excluidas obviamente de la consideración.

Entonces, a menos que y hasta que Emilio edite su pregunta para establecer explícitamente que solo se deben considerar circuitos con resistencias y fuentes independientes, dejaré esta respuesta tal como está.

Answer 5

El segundo problema resuelve el primero. Si se conocen suficientes datos de la medición, entonces el estado del sistema queda determinado de manera única. Si se midieron más datos de los necesarios esto no afectará la solución, a menos que las suposiciones de Kirchhoff no se cumplan o las ecuaciones de Maxwell estén defectuosas.

En cuanto a las razones fundamentales solicitadas, las leyes de Kirchhoff se derivan directamente de las ecuaciones de Maxwell, las cuales implican la conservación de la corriente y la anulación de ${\bf \nabla} \times {\bf E} $ bajo las suposiciones de Kirchhoff.