Polinomio irreducible sobre un campo $k$ $char\ k = p > 0$

Question

Estoy estudiando para mi Álgebra Abstracta II final y la revisión de los problemas. Estoy teniendo algunos problemas con esto. Dirección sería útil.

Deje $k$ ser un campo con $char\ k = p > 0$, y deje $f(x) \in k[x]$ ser un polinomio irreducible. Demostrar que existe un entero $n \geq 0$ y una irreductible polinomio separable $g(x) \in k[x]$ tal que $f(x) = g(x^{p^n})$.

EDIT: he encontrado una prueba aquí, pero no lo entienden. Es el Lema 4.3. Aclaración? https://math.berkeley.edu/~amathew/chfields.pdf

Answer 1

Todo lo que tienes que saber es un polinomio $f$ es separable si y sólo si $(f,f')=1$. Si $f$ es irreductible e $f'\neq 0$, es siempre el caso de que $(f,f')=1$. En el carácter $0$, $f$ siempre es separable.

Por lo tanto $f$ no es separable si y sólo si la característica es $p>0$ $f$ es un polinomio en a $x^p$.

Deje $n$ ser el mayor exponente tal que $f(x)$ es un polinomio en $x^{p^n}$: $\,f(x)=g\bigl(x^{p^n}\bigr)$. $g$ es irreductible desde $f$ es, y no es un polinomio en a $x^p$ por el maximality de $n$, por lo que es separable.