Es finito el conjunto de valores críticos de un polinomio $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$

Question

Tengo resultado: medida del conjunto de valores críticos de $f$ es cero (por el teorema de Sard), donde $f: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$ son funciones polinómicas. ¿Cómo mostrar que el conjunto de valores críticos de $f$ es finito?

Answer 1

$$V=crit(f)_\Bbb C=(\cap_{i=1}^n\{x\in \Bbb C^n|\frac {df}{dx_i}(x)=0\})$$

es una variedad algebraica. Por lo tanto es una unión finita de irreductible variedades algebraicas . Si una variedad es irreductible, es fácil ver que está conectado en la topología de Zariski. Así, en particular, $V$ tiene un número finito de componentes conectados en la topología de Zariski. Una variedad algebraica (en un algebraicamente cerrado de campo) está conectado en la topología de Zariski iff es conectado en la analítica de la topología (ver aquí). Desde $Df=0$ $V$ $f$ es suave, tenemos $f$ es constante en cada uno de ellos conectado (en el sentido analítico) componente de $V$. Por lo tanto, $f$ sólo toma un número finito de valores en $V$. Pero $crit(f)_\Bbb R\subset crit(f)_\Bbb C$, lo $f$ sólo toma un número finito de valores cuando restringida real en su conjunto crítico. Por lo $f(crit(f)_\Bbb R)$ es finito como se desee.