Encontrar el número de n por n matrices conjugado a una matriz diagonal

Question

(a) encontrar el número de matrices de tamaño $n$ $n$ sobre el campo de dos elementos que son conjugado a una matriz diagonal. ¿Cuál es la respuesta para $n = 4$?

(b) ¿Cuál es el número de $n$ $n$ matrices conjugado a una matriz diagonal sobre cualquier campo finito $F_q$?

¡Se agradecería mucho cualquier ayuda o aproximaciones a este problema!

Answer 1

Deje $X(q,n,r)$ denota el conjunto de todos los uples independiente de vectores $(v_1,v_2, \ldots,v_r)\in V^r$ donde $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre ${\mathbb F}_q$.

Por un fácil de inducción,

$$ |X(n,q,r)|=(p^n-1)(q^n-p)(q^n-q^2) \ldots (q^n-p^{i-1}) \etiqueta{1} $$

En particular, si denotamos por a ${\cal B}(V)$ el conjunto de todos los bases de $V$,${\cal B}(V)=X(q,n,n)$, por lo que

$$ |{\cal B}(V)|=(p^n-1)(q^n-p)(q^n-q^2) \ldots (q^n-p^{n-1}), \ \text{con} \ n={\sf dim}(V) \etiqueta{2} $$

Entonces, si denotamos por a ${\cal S_1}(q,n,a)$ el conjunto de todos los subespacios $W$ de la dimensionalidad $a$$V$, luego

$$ |{\cal S_1}(q,n,a)|=\frac{|X(n,p,a)|}{|{\cal B}(W)|}= \frac{(p^n-1)(q^n-p)(q^n-q^2) \ldots (q^n-p^{- 1})}{(p^a-1)(q^a-q)(p^-p^2) \ldots (p^-p^{- 1})} \etiqueta{3} $$

Más generalmente, si denotamos por a ${\cal S_s}(q,n,a_1,a_2, \ldots,a_s)$ el conjunto de todos los uples $(W_1,W_2,\ldots,W_s)$ tales que la suma de $\sum_{W_j}$ es una suma directa y ${\sf dim}(W_i)=a_i$, tenemos

$$ |{\cal S_s}(q,n,a_1,a_2, \ldots,a_s|=\frac{|X(n,p,a_1+a_2+\ldots +a_s)|}{\prod_{j}|{\cal B}(W_j)|}= \frac{(p^n-1)(q^n-p)(q^n-q^2) \ldots (q^n-p^{a_1+a_2+a_3+\ldots a_s-1})}{\prod_{j}(q^a_j-1)(q^a_j-q)(q^a_j-q^2) \ldots (q^a_j-q^{a_j-1})} \etiqueta{3} $$

Dada una partición $\pi=[p_1+\ldots+p_s]$$[n]$, el número de diagonalizable $n\times n$ matrices de tipo $\pi$ $L(\pi) \times M(\pi)$ donde $L(\pi)$ es el número de opciones para los autovalores y $M(\pi)$ es el número de espacio de descomposición. Calculamos $L(\pi)$ por recuento directo y calculamos el $M(\pi)$ (3).

Aquí están algunos ejemplos :

$$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline n & \pi & L(\pi) & M(\pi) & N(\pi)=L(\pi)M(\pi) \\ \hline 2 & [2] & q & 1 & q \\ \hline 2 & [1+1] & q(q-1) & q(q+1) & q^2(q^2-1) \\ \hline 3 & [3] & q & 1 & q \\ \hline 3 & [2+1] & q(q-1) & q^2+q+1 & q(q-1)(q^2+q+1) \\ \hline 3 & [1+1+1] & q(q-1)(q-2) & q^3(q+1)(q^2+q+1) & (q-2)(q-1)q^4(q+1)(q^2+q+1) \\ \hline 4 & [4] & q & 1 & q \\ \hline 4 & [3+1] & q(q-1) & q^3(q+1)(q^2+1) & (q-1)q^4(q+1)(q^2+1) \\ \hline 4 & [2+2] & q(q-1) & q^4(q^2+1)(q^2+q+1) & (q-1)q^5(q^2+1)(q^2+q+1) \\ \hline 4 & [2+1+1] & q(q-1)(q-2) & q^5(q+1)(q^2+q+1)(q^2+q+1) & (q-2)(q-1)q^6(q+1)(q^2+q+1)(q^2+q+1) \\ \hline 4 & [1+1+1+1] & q(q-1)(q-2) & q^6(q+1)^2(q^2+q+1)(q^2+q+1) & (q-2)(q-1)q^7(q+1)^2(q^2+q+1)(q^2+q+1) \\ \hline \end{array} $$

La adición de los resultados juntos, uno puede deducir que el número de $d_n$ de diagonlizable matrices de tamaño $n\times n$ :

$$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline n & d_n & d_n \ \text{when} \ q=2 \\ \hline 2 & q(q^3-q+1) & 14 \\ \hline 3 & q(q^8 - q^7 - 2q^6 + q^4 + 2q^3 - q^2 + 1) & 58 \\ \hline 4 & q(q^{15} - 3q^{14} - 2q^{13} + 4q^{12} + 5q^{11} + 8q^{10} + q^9 - 4q^8 - 4q^7 - 6q^6 + 2q^5 - q^4 - q^3 + 1)& 1362\\ \hline \end{array} $$