sobre la intersección de intervalos anidados

Question

Considere una secuencia de ${a_n}$ (tenemos no informaciones acerca de su convergencia) y además tener en cuenta una secuencia de intervalos semiabiertos de $\mathbb R$:

$$\left[\frac{a_0}{2^0},\frac{a_0+1}{2^0}\right[\supset \left[\frac{a_1}{2^1},\frac{a_1+1}{2^1}\right[\supset\cdots\supset\left[\frac{a_n}{2^n},\frac{a_n+1}{2^n}\right[\supset\cdots$$

¿Puedo concluir que la intersección es solo un punto? ¡Ser consciente del hecho de que no puedo utilizar el teorema de intersección de Cantor ya que mis intervalos no están cerradas!

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Como señaló Daniel Fischer, la longitud de lo intervalos se contrae a $0$ así que la intersección es vacía o contiene exactamente un punto.

Si eliges $a_n = 0$ cada $n$, los intervalos se pueden anidar y su intersección es ${0}$. En la otra mano, si usted elige $a_n$ así que ${\frac{an + 1}{2^n}}$ es constante, es decir, $a{n + 1} = 2a_n + 1$ y $a_0 ≥ 0$ entonces los intervalos se pueden anidar otra vez pero la intersección estará vacía.