¿Qué significa? $\lim_{n \to \infty} f_n$ ?

Question

Precisamente, estoy trabajando en el teorema de convergencia monótona del libro de Folland, Real analysis. El enunciado es el siguiente:

Si $\{f_n\}$ es una secuencia en $L^+$ tal que $f_j \leq f_{j+1}$ para todos $j$ y $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_n$ $\displaystyle(=\sup_n f_n)$ entonces $\displaystyle\int f = \lim_{n \to \infty} \int f_n$ .

Entonces, no entendí qué significa tomar el límite de la sucesión de funciones. Además, no he entendido que es igual a la suma. Gracias.

Answer 1

El límite es aquí puntual, es decir $f$ es la función tal que $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ es válido para $x$ . Por suposición de monotonía, el límite es también el supremum (de nuevo puntualmente).