Yo estaba ayudando a alguien sobre algunos problemas de matemáticas cuando un salvaje pregunta que parece. Va como esto:
Obtener la solución a la ecuación diferencial $$\cos y \sin2x dx +(\cos^2y - \cos^2x)dy = 0$$
Mi trabajo
Yo era capaz de buscar en internet sobre cómo obtener la solución a la ecuación diferencial que se muestra arriba, pero no entiendo la forma.
Tal vez podríamos reorganizar la anterior ecuación diferencial en la forma
$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$
Con el formulario de arriba, podemos ver si la ecuación diferencial es de variables separables, homogéneas o un exacto tipo.
La prueba la da ecuación diferencial de variables separables:
No. Nosotros no podemos. La ecuación diferencial anterior no es de variables separables.
La prueba la da la ecuación diferencial como homogénea:
$F(x,y)$ es una función homogénea de grado $n$ $x$ $y$ siempre $F(kx,ky)$ = $k^nF(x,y)$. Por ejemplo, $x^2 + y^2$ $x^2 \sin \left(\frac{y}{x}\right)$ son funciones homogéneas de grado $2$$x$$y$. Con eso en mente...
Mirando el primer plazo $\cos y \sin2x$: $$F(x,y) = \cos y \sin2x$$ $$F(kx,ky) = \cos (ky) \sin(2kx)$$ Cada vez más, llegamos a la conclusión de que $$F(kx,ky) \neq k^nF(x,y)$$
Mirando el segundo término $\cos^2y - \cos^2x$: $$F(x,y) = \cos^2y - \cos^2x$$ $$F(kx,ky) = \cos^2(ky) - \cos^2(kx)$$ Cada vez más, llegamos a la conclusión de que $$F(kx,ky) \neq k^nF(x,y)$$
Los términos mismos deben ser homogéneos si las ecuaciones diferenciales son homogéneas.
No. Nosotros no podemos. La ecuación diferencial anterior no es homogénea.
La prueba la da la ecuación diferencial si se trata de un exacto tipo:
Una condición necesaria para que una ecuación diferencial para ser exactos, se
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$
Por lo tanto obtener la expresión para $\frac{\partial M}{\partial y}$:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\cos y \sin2x) $$ $$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin 2x\frac{\partial}{\partial y}(\cos y) $$ $$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin 2x(-\sin y)$$ $$\frac{\partial M}{\partial y} = -\sin y \sin 2x$$
Por lo tanto obtener la expresión para $\frac{\partial N}{\partial x}$:
$$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\cos^2y - \cos^2x) $$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{\partial}{\partial x}(\cos^2x) $$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) $$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = \sin 2x $$
Vemos que $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, por lo que el dado por la ecuación diferencial no es exacta .
Vamos a tratar de convertirla en una ecuación diferencial lineal.
Vamos a tratar de reorganizar el dado por la ecuación diferencial en una ecuación de Bernoulli, que tenía la forma
$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ Entonces...
$$\cos y \sin2x dx +(\cos^2y - \cos^2x)dy = 0$$ $$\frac{\cos y \sin2x dx}{dx} +\frac{(\cos^2y - \cos^2x)dy}{dx} = \frac{0}{dx}$$ $$\cos y \sin2x + (\cos^2y - \cos^2x)\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{\cos y \sin2x}{\cos^2y - \cos^2x} + \frac{\cos^2y - \cos^2x}{\cos^2y - \cos^2x}\frac{dy}{dx} = \frac{0}{\cos^2y - \cos^2x}$$ $$\frac{\cos y \sin2x}{\cos^2y - \cos^2x} + \frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} + \frac{\cos y \sin2x}{\cos^2y - \cos^2x} = 0$$
Tornillo que. Ni siquiera podíamos discernir lo que es la expresión de $P(x)y$ debido a que la expresión $\frac{\cos y \sin2x}{\cos^2y - \cos^2x}$ es irreductible. No podemos separar a $x$'s de $y$'s.
¿Cómo podemos obtener la solución de la ecuación diferencial anterior?
