Demostrar que una secuencia recursiva no está acotada $a_{n+1}=a_n+\frac 1 {a_n}$

Question

Demuestra que la secuencia no está acotada: $a_1=1$ , $a_{n+1}=a_n+\frac 1 {a_n}$ .

Prueba por contradicción: Sea $M>0$ tal que $\forall n: |a_n|< M$ .

Dejemos que $\epsilon >0 $ y para algunos $n=N, \epsilon: a_N=M-\epsilon<M $ introduciendo eso en la recursión: $a_{N+1}=M-\epsilon+\frac 1 {M-\epsilon}>M>M-\epsilon$ . Contradicción.

Me preguntaba si podía suponer sobre el límite que $\forall n: |a_n|\le M$ ? La prueba sería básicamente la misma sólo que podría dejar de lado el épsilon.

Answer 1

Aviso $$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \quad\implies\quad a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2} \ge a_n^2 + 2$$ Esto implica que para cualquier $n$ , $$a_n^2 \ge a_1^2 + 2(n-1) = 2n-1$$ Como resultado, $a_n$ diverge al menos tan rápido como $\sqrt{2n-1}$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Una pista: La secuencia es obviamente creciente. Así que si está acotada, entonces tiene un límite $b\ge 1$ . Así, $b=\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\cdots$ .

Answer 3

Es una prueba un tanto curiosa.

Supongamos por contradicción que $a_n$ está acotada por algún valor positivo $M$

Entonces la serie $\displaystyle \sum (a_{n+1}-a_n)=\sum\frac{1}{a_n}$ tiene sumas parciales acotadas (y término general positivo).

Así, la serie $\displaystyle \sum\frac{1}{a_n}$ converge, lo que implica que $a_n\to \infty$

Contradicción.

Answer 4

Pista: Primero, demuestre por inducción que $a_n > 0$ para todos $n$

Ahora, supongamos que $a_n$ está acotado, es decir $a_n \le M$ para algunos $M > 0$ .

Entonces, $\dfrac{1}{a_n} \ge \dfrac{1}{M}$ y así, $a_{n+1} = a_n + \dfrac{1}{a_n} \ge a_n + \dfrac{1}{M}$ .

Ahora, ¿puede mostrar cómo esto produce una contradicción?

Answer 5

Además de lo dicho anteriormente, se puede demostrar por inducción que $\ln n\leq a_n\leq n$ . Es válido para $n=1,2,3$ y si se mantiene para $n$ entonces $$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\geq a_n+\frac{1}{n}\geq \ln n + \frac{1}{n}\geq \int_1^n \frac{1}{x} \,dx+\int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx=\ln (n+1)$$ y de forma similar, se demuestra que $a_{n}+\frac{1}{a_n}\leq n+\frac{1}{\ln n}\leq n+1$ .