Paseo aleatorio simple: El tiempo de golpeo de 1 es a.s. finito

Question

Dejemos que $X_i, i \geq 0$ sean variables aleatorias i.i.d. con $P[X_i=1]=P[X_i=-1]=1/2$ y considerar $S_n = X_1 + \dotsc + X_n$ para $n \geq 1$ , $S_0=0$ el paseo aleatorio simple simétrico en $\mathbb{Z}$ .

Dejemos que $T_1:=\inf{\{n \geq 0 \,\colon \, S_n = 1\}}$ sea el tiempo de golpeo de $1$ .

¿Cómo se puede ver que $T_1 < \infty$ ¿a.s.?

Answer 1

En este caso, podemos dar una estimación fácil sobre la probabilidad de cola de $T_1$ . Observe que

$$ \{T_1 = 2n+1\} = \{S_1 \leq 0, \cdots, S_{2n-1} \leq 0, S_{2n} = 0, S_{2n+1} = 1\}. $$

Utilizando una de las caracterizaciones equivalentes del número catalán podemos calcular explícitamente la probabilidad de este evento como

$$ \Bbb{P}(T_1 = 2n+1) = \frac{1}{2^{2n+1}}C_n = \frac{1}{2^{2n+1}(n+1)} \binom{2n}{n}. $$

A partir de esto, calculamos explícitamente la función generadora de probabilidad de $T_1$ por

$$ |z| < 1 \quad \Rightarrow \quad \mathbb{E}[z^{T_1}] = \sum_{n=0}^{\infty} z^n \mathbb{P}(T_1 = n) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{2^{2n+1}} z^{2n+1} = \frac{1-\sqrt{1-z^2}}{z}. $$

Dejar $z \to 1^-$ muestra que, por el teorema de convergencia monótona,

$$ \mathbb{P}(T_1 < \infty) = \lim_{z \to 1^-} \mathbb{E}[z^{T_1}] = \lim_{z \to 1^-} \frac{1-\sqrt{1-z^2}}{z} = 1. $$

Por lo tanto, $\Bbb{P}(T_1 = \infty) = 0$ .

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Adenda. Utilizando esto, también podemos demostrar que

$$ \mathbb{E}[T_1 z^{T_1}] = \frac{1-\sqrt{1-z^2}}{z\sqrt{1-z^2}}, $$

y así, $T_1$ expectativa infinita $\Bbb{E}[T_1] = \infty$ .