Por favor ayuda con la diferenciación en la integral

Question

Esta pregunta tiene una respuesta que se refiere a la diferenciación en virtud de la integral de la OP.

De nuevo, aquí está el original de la integral: $$\int_0^\infty\frac{\cos\;x}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

...y dejamos $$ F(y) = \int\nolimits_{0}^{\infty} \frac{\sin xy}{x(1+x^2)} \ dx \ \ \text{for} \quad\quad y > 0$$

La primera parte es de interés en demostrar que las $\displaystyle F''(y) - F(y) + \pi/2 = 0$. Es necesario integrar a $F(y)$ a mostrar esto? ¿Qué acerca de la posibilidad de tomar $\lim_{y \to 0+}$ de antemano? Me pregunto si alguien puede ayudar a explicar este paso con mucho mayor detalle. Estoy un poco borroso con el $y>0$ parte de ella, y si o no la integración tiene que ocurrir aquí. Estoy tratando de asegurarse de que entienden a fondo este post para que me la puedan aplicar posteriormente a los distintos problemas.

Answer 1

Informática la siguiente combinación de #% de #% %, da

$$ \int_0^\infty \frac{\sin(x y)} {x} \frac{-x^2 -1} {1 + x ^ 2} \mathrm{d} x = - \int_0^\infty \sin (x y) \frac{\mathrm{d} x} {x} = - \frac{\mathrm{d \int_0^\infty \sin (x)} x} {x} = - \frac{\pi}{2} Aviso de $$ que utilizamos $F''(y) - F(y)$ al cambiar las variables.

Ahora, lo único que queda para justificarse es que $y>0$ integral converge, y esto es así porque $F''(y)$ % real $\frac{x^2}{1+x^2}