límite superior de la función exponencial

Question

Estoy buscando un límite superior ajustado de la función exponencial (o suma de funciones exponenciales):

$e^x<f(x)\;$ cuando $ \;x<0$ o

$\displaystyle\sum_{i=1}^n e^{x_i} < g(x_1,...,x_n)\;$ cuando $\;x_i<0$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Como sugieres en los comentarios que quieres un límite polinómico, puedes usar cualquier polinomio de Taylor par para $e$ .

Propuesta. $\boldsymbol{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}}$ es un límite superior para $\boldsymbol{e^x}$ cuando $\boldsymbol{n}$ es par y $\boldsymbol{x \le 0}$ .

Prueba. Deseamos mostrar $f(x) \ge 0$ para todos $x$ , donde $f: (-\infty, 0] \to \mathbb{R}$ es la función definida por $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} - e^x.$ Desde $f(x) \to \infty$ como $x \to - \infty$ , $f$ debe alcanzar un mínimo absoluto en algún punto del intervalo $(-\infty, 0]$ .

• Si $f$ tiene un mínimo absoluto en $0$ , entonces para todos los $x$ , $f(x) \ge f(0) = 1 - e^0 = 0$ Así que hemos terminado.

• Si $f$ tiene un mínimo absoluto en $y$ para algunos $y < 0$ entonces $f'(y) = 0$ . Pero diferenciando, $$ f'(y) = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \cdots + \frac{y^{n-1}}{(n-1)!} - e^y = f(y) - \frac{y^n}{n!}. $$ Por lo tanto, para cualquier $x$ , $$ f(x) \ge f(y) = \frac{y^n}{n!} + f'(y) = \frac{y^n}{n!} > 0, $$ desde $n$ está en paz. $\square$

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Hay que tener en cuenta que cualquier cota superior de un polinomio sólo será ajustada hasta cierto punto, porque el polinomio explotará hasta el infinito como $x \to -\infty$ . También hay que tener en cuenta que la misma prueba muestra que el polinomio de Taylor es un baja con destino a $e^x$ cuando $n$ es impar y $x \le 0$ .

Answer 2

Para $x < 0$ y $n \in \mathbb{N}$ ,

$$ 0 < \sum_{k=0}^{n} \frac{(-x)^k}{k!} < e^{-x} $$

así que

$$ e^x < 1\left/\sum_{k=0}^{n} \frac{(-x)^k}{k!}\right.. $$

Answer 3

¿Qué tal si $e^{-x}\leq c(\gamma)(\frac{1}{1+x})^\gamma$ para los no negativos $x$ ?