La potencia exterior "conmuta" con la suma directa

Question

Sé que para los espacios vectoriales $V, W$ sobre un campo $K$ tenemos la siguiente identidad : $$ \bigoplus_{k=0}^n \left[ \Lambda^k(V) \otimes_K \Lambda^{n-k}(W) \right] \simeq \Lambda^n(V \oplus W) $$ que se mantiene de forma canónica : para $0 \le k \le n$ los mapas $$ \Lambda^k(V) \times \Lambda^{n-k}(W) \to \Lambda^n(V \oplus W), \\ (v_1 \wedge\cdots \wedge v_k,w_{k+1} \wedge \cdots \wedge w_n) \mapsto (v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) \wedge (w_{k+1} \wedge \cdots \wedge w_n) $$ factores a través de las propiedades universales del producto tensorial, lo que nos da un mapa $\varphi_k : \Lambda^k(V) \otimes_K \Lambda^{n-k}(W) \to \Lambda^n(V \oplus W)$ y como la categoría de $K$ -tiene biproductos, obtenemos un mapa canónico $$ \varphi = \bigoplus_{k=0}^n \varphi_k : \bigoplus_{k=0}^n \left[ \Lambda^k(V) \otimes_K \Lambda^{n-k}(W) \right] \longrightarrow \Lambda^n(V \oplus W) $$

¿Y si sustituyo $K$ por un (anillo conmutativo con $1$ ) anillo $A$ ? ¿Este mapa tiene un núcleo? Sé que es sobreyectivo (basta con "mirarlo", es decir, los generadores del codominio son obviamente todos golpeados por $\varphi$ ). No sé si ayuda, pero estoy trabajando en dominios integrales. En el caso del campo, esto es obvio si $V$ y $W$ se generan finitamente, ya que se pueden utilizar argumentos de dimensión. Tampoco me importaría que la identidad anterior se mantuviera sólo en el caso de generación finita. Sin embargo, si funcionara en general, sería genial.

Obsérvese que al intentar calcular el mapa inverso con la propiedad universal, parece haber un problema... mi opinión hubiera sido $$ (v_1 + w_1,\cdots,v_n + w_n) \mapsto \bigoplus_{k=0}^n (v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) \otimes (w_{k+1} \wedge \cdots \wedge w_n) $$ y este mapa es obviamente $A$ -multilineal, pero hay un problema con la propiedad de alternancia ; me quedan algunos términos. Supongo que este es el mapa equivocado... si es que hay uno.

Answer 1

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo. Entonces $\Lambda(-)$ es un functor de $A$ -a módulos conmutativos graduados $A$ -que es adjunto a la izquierda del functor que toma el grado $1$ parte. Como es adjunto a la izquierda, preserva los colímites, en particular los coproductos. De ello se desprende que $\Lambda(M \oplus N) \cong \Lambda(M) \otimes \Lambda(N)$ . Mirando el $n$ parte de grado, obtenemos $\Lambda^n(M \oplus N) \cong \bigoplus_{p+q=n} \Lambda^p(M) \otimes \Lambda^q(N)$ .

Para una demostración más directa, considere el lado izquierdo como un cociente de $(M \oplus N)^{\otimes n}$ y el lado derecho como cociente de $\bigoplus_{p+q=n} M^{\otimes p} \otimes N^{\otimes q}$ . Tenemos el "teorema del binomio" $(M \oplus N)^{\otimes n} \cong \bigoplus_{p+q=n} \binom{n}{p} \cdot M^{\otimes p} \otimes N^{\otimes q}$ . Se puede comprobar fácilmente que los cocientes coinciden.

Ambos argumentos funcionan con gran generalidad, $A$ puede ser cualquier objeto monoide conmutativo en una categoría monoidal simétrica lineal cocompleta (esto se explica, por ejemplo, en mi tesis). Como siempre, no es necesario juguetear con los elementos.

Answer 2

Es un isomorfismo, donde $A$ es un anillo conmutativo, y $V$ y $W$ sont $A$ -módulos. Creo que necesitamos $V$ y $W$ sea finitamente generada y proyectiva (pero no estoy seguro de ello; quizás alguien pueda opinar al respecto).

Véase el teorema 7 aquí en las notas de Bergman para más detalles. Su prueba incluye una descripción del mapa inverso. (En sus notas, $k$ denota un anillo conmutativo, no necesariamente un campo).

Brevemente, considere un elemento en $\Lambda^n(V \oplus W)$ que consiste en $k$ elementos de $V$ y $n-k$ elementos de $W$ en algún orden, por ejemplo $(v_1, w_1, w_2, v_2, w_3, w_4, \dots)$ . Sea $\sigma$ sea la permutación que reordena esa tupla en $(v_1, \dots, v_k, w_1, \dots, w_{n-k})$ . A continuación, mapeamos $$\Lambda^n(V \oplus W) \longrightarrow \Lambda^k V \otimes \Lambda^{n-k} W$$ $$(v_1, w_1, w_2, v_2, w_3, w_4, \dots) \longmapsto \operatorname{sgn}(\sigma)(v_1, \dots, v_k)\otimes(w_1, \dots, w_{n-k}).$$

Lo extendemos de forma multilineal para obtener un mapa alternativo $$\Lambda^n(V \oplus W) \longrightarrow \bigoplus_{k=0}^n (\Lambda^k V \otimes \Lambda^{n-k} W).$$