Demostrar que $\gcd(a,bc)=1$ si y sólo si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a,c)=1$

Question

Demostrar que $\gcd(a,bc)=1$ si y sólo si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a,c)=1$ .

Soy nuevo en esto de las pruebas y creo que debería usar el Lemma de Euclides que dice "Si $p$ es un primo que divide a $ab$ entonces $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo crear una prueba o argumento concreto.

Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Una dirección debe estar clara: si $a$ y $bc$ no tienen factores comunes mayores que $1$ entonces ciertamente tampoco $a$ y $b$ ni $a$ y $c$ . Si esto no está del todo claro, argumente así: Si $q$ divide $c$ entonces $q$ divide $bc$ . Así, cualquier factor común de $a$ y $c$ es también un factor común de $a$ y $bc$ . Lo mismo con $b$ en lugar de $c$ .

Para la otra dirección, el lema de Bezout ofrece un buen argumento. Nótese que si $m,n$ son enteros, y hay enteros $x$ y $y$ tal que $mx+ny=1$ entonces $\mathrm{gcd}(m,n)=1$ . Esto se debe a que cualquier divisor común de $m,n$ también es un divisor de $mx+ny$ . La otra dirección también es válida, y es el contenido del lema de Bezout: Si $\mathrm{gcd}(m,n)=1$ entonces hay números enteros $x,y$ con $mx+ny=1$ .

En consecuencia, fijar los enteros $x,y,z,w$ tal que $ax+by=1$ y $az+cw=1$ . Multiplica estas dos ecuaciones para obtener $$ a(axz+xcw+byz)+bc(yw)=1. $$ Las cifras $k=axz+xcw+byz$ y $l=yw$ son números enteros, y tenemos $ak+(bc)l=1$ por lo que (como se ha explicado anteriormente), se deduce que $\mathrm{gcd}(a,bc)=1$ .

Por cierto, esta idea de multiplicar combinaciones lineales dada por Bezout nos permite demostrar muchos resultados similares. Por ejemplo, si $\mathrm{gcd}(a,b)=1$ entonces también $\mathrm{gcd}(a^2,b^3)=1$ (Ya se han planteado varios problemas de este tipo en este sitio).

Answer 2

Por la parte que si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a,c)=1$ entonces $\gcd(a,bc)=1$ :

Una pista:

Si $1=ax+by=au+cv$ entonces

$$1=(ax+by)(au+cv)=a(aux+cvx+byu)+bc(yv)$$

Answer 3

La dirección hacia adelante. Se postula gcd(a,bc) = 1. Entonces hay enteros x,y tales que $ ax + (bc)y = 1.$

La búsqueda consiste en asociar los términos $ ax + (bc)y = 1.$ de dos maneras, para aplicar La identidad de Bezout precipitar $gcd(a,b)$ y $gcd(a,c)$ .

Agrupar cy para precipitar $ b, a(x) + b(cy) = 1 => gcd(a,b) = 1 $

Agrupar por precipitar $c, a(x) + (by)c = 1 => gcd(a,c) = 1. $

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Mi prueba del retroceso se basa en https://math.stackexchange.com/a/673135 . https://math.stackexchange.com/a/675887 es similar pero no colorea nada. Me pregunto lo mismo que Bill Dubuque en su comentario - No sé por qué robjohn reordena 'antes de multiplicar las identidades de Bezout', de ahí que no lo haga.

Pero, ¿alguien puede edificarme, por favor? Quiero saber.

En virtud de La identidad de Bezout existe $x,y,u,v$ para que $\color{#C00000}{ax+by=1}$ y $\color{#00A000}{au+cv=1}$ . La búsqueda consiste en multiplicar estas dos ecuaciones: $ \begin{align} \color{#C00000}{ (ax + by) }\color{#00A000}{ (au + cv) } &=\color{#C00000}{(1)}\color{#00A000}{(1)}\\ \color{magenta}{a}(axu + cv + buy)+\color{magenta}{bc}vy &= \end{align} $

Por la Identidad de Bezout de nuevo, la última ecuación transmite $(\color{magenta}{a},\color{magenta}{bc})=1$ .