Rao-Blackwell distribución binomial de estimador insesgado

Question

Tengo el % de IID $\ X_1,X_2, ... , X_n$con pmf $\ P(X_i = x_i) = {{m}\choose{x_i}}\theta^{x_i}(1-\theta)^{m-x_i}, 0 \leq x_i \leq m$

Tengo el estimador insesgado $\ X_1/m$, la suficiente estadística $T = \sum X_i $ y lo quiero usar de Rao-Blackwell para encontrar otro estimador insesgado para $\theta$.

Así que hacer $\theta' = E(X_1/m \vert {T}) $

$ = 1/m \sum k P(X_1 = k \vert T = t) = 1/m \sum k{{m}\choose{k}}{{mn-m}\choose{t-k}}/{{mn}\choose{t}} $

Pero entonces yo no puedo evaluar esta suma. ¿He ido mal?

Answer 1

Actualización basada en el comentario de whuber.

Primero algunos notación. Que $T{-1} = \sum{i=2}^nXi$ y tenga en cuenta que $T \sim Binom(nm, \theta)$ y $T{-1} \sim Binom((n-1)m, \theta)$. Además, tenga en cuenta que $X1$ y $T{-1}$ son independientes.

\begin{align} \phi(T) &= E(X_1/m |T =t) \ &= \frac{1}{m}E(X1|T=t) \ &= \frac{1}{m}\sum{x=0}^m xP(X1=x|T=t) \ &= \frac{1}{m}\sum{x=0}^m x\frac{P(X1=x \cap T=t)}{P(T=t)} \ &= \frac{1}{m}\sum{x=0}^m x\frac{P(X1=x \cap T{-1}=t-x)}{P(T=t)} \ &= \frac{1}{m}\sum_{x=0}^m x\frac{P(X1=x)P(T{-1}=t-x)}{P(T=t)} \ &= \frac{1}{m}\sum{x=0}^m x\frac{\binom{m}{x}\theta^x(1-\theta)^{m-x}\binom{(n-1)m}{t-x}\theta^{t-x}(1-\theta)^{(n-1)m-t+x}}{\binom{nm}{t}\theta^t(1-\theta)^{nm-t}} \ &= \frac{1}{m}\sum{x=0}^m x\frac{\binom{m}{x}\binom{nm -m}{t-x}}{\binom{nm}{t}} \ &= \frac{1}{m}\sum_{x=0}^m x f(x;nm, m, t) \quad\text{where %#%#% is the pmf of a hypergeometric random variable}\ &= \frac{1}{m}E(X) \quad \text{where %#%#% is a hypergeometric rv} \ &= \frac{1}{m}\frac{tm}{mn} = \frac{t}{mn} \end{align}

Recordando que $f$ es el valor de $X$, conseguimos $t$ como se esperaba.